IB 數學（HL）/級數與微分方程

本選修課的目的是介紹極限定理和級數的收斂性，並利用微積分結果來求解微分方程。在開始本選修課的任何工作之前，建議您複習核心課程大綱中的主題 1 和主題 7，因為這些主題的許多背景知識在本主題中會有所幫助。

調和級數

調和級數是發散無窮級數。其中一個例子是

$S_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$

其中，觀察到以下模式

• $s_{1}=1$

• ${s_{2}=1+{\frac {1}{2}}}={\frac {3}{2}}$

• ${s_{4}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=2$

• ${s_{8}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=2{\frac {1}{2}}$

• ${s_{16}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{16}}}>1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=3$

由此可以得出結論，模式將繼續下去

$s_{32}>3{\frac {1}{2}}$ 並且 $s_{64}>4$,

因此，一般模式可以表示為

$s_{2^{n}}>1+{\frac {n}{2}}$