主題1 - 代數

引言

本節的目的是向考生介紹一些基本的代數概念和應用。數系現已列入預備知識部分。

數列與級數

級數是一系列數字的和。例如，

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+...$

數列是由一系列數字組成的列表，通常用逗號分隔。數字的排列順序很重要，例如，

$1,2,3,4,5,...$

有限與無限數列

對集合S中的有限數列的一個更正式的定義是從{1,2,...,n}到 $S$ 的一個函式，其中n ≥ 0。

S中的無限數列是從{1,2,...}（自然數集）到 $S$ 的一個函式。

等差數列

等差級數或數列僅僅涉及加法。

    1, 2, 3, 4, 5, ...

是加法的例子，其中每次都將1加到前一項。

求等差數列第n項的公式為

\ u_{n}=u_{1}+(n-1)d.

其中 $u_{n}$ 是第n項， $u_{1}$ 是第一項，d是公差，n是項數。

無限與有限等差級數的和

無限等差級數是一個項構成等差數列的無限級數。例如 1 + 1 + 1 + 1 + · · · 和 1 + 2 + 3 + 4 + · · ·。

有限級數的和 (Sn) 為

$S_{n}={\frac {n}{2}}\cdot (2u_{1}+(n-1)d)={\frac {n}{2}}\cdot (u_{1}+u_{n})$ .

等比數列與級數

有限與無限等比級數的和

等比級數是一個各項之間存在恆定比率的級數。每一項都可以透過將前一項乘以'r'得到。

等比數列的第n項

{\begin{aligned}u_{n}=u_{1}\cdot r^{n-1}&.\end{aligned}}

$S_{n}={\frac {u_{1}(r^{n}-1)}{r-1}}={\frac {u_{1}(1-r^{n})}{1-r}}$ .

所有項的和（無限等比數列）：如果 -1 < r < 1，則

$S={\frac {u_{1}}{1-r}}$

指數

$a^{x}=b$ 等價於 $log_{a}\cdot b=x$

${\begin{aligned}a^{x}=e^{x\cdot \ln a}\,\end{aligned}}$

指數運演算法則

代數部分要求理解指數並進行指數運算。指數函式的一個例子是 $a^{c}$ ，其中 a 被提升到 $c^{th}$ 次方。指數是透過將較小的數字自身乘以與較大數字相同次數來計算的。例如， $2^{3}=2\times 2\times 2=8$ 。如果指數是分數，則表示根。例如， $4^{\frac {1}{2}}={\sqrt {4}}=2$ 。以下是需要記住的指數運演算法則

$a^{m}a^{n}=a^{m+n}$
$(ab)^{m}=a^{m}b^{m}$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
$a^{m/n}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}$

對數

對數運演算法則

$\log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y\,\!$

$\log _{b}({\frac {x}{y}})=\log _{b}x-\log _{b}y$

$\log _{b}x^{y}=y\log _{b}x\,\!$

換底公式 (Huàn dǐ gōngshì)

\log _{b}(a)={\frac {\log _{c}(a)}{\log _{c}(b)}}.

此外，這個結果表明所有對數函式（無論底數是什麼）彼此相似。因此，要使用計算器計算以 2 為底 16 的對數 (Duìshù)

\log _{2}(16)={\frac {\log(16)}{\log(2)}}.

二項式定理 (Èr xiàng shì dìnglǐ)

二項式展開定理 (Èr xiàng shì zhǎnkāi dìnglǐ) 用於展開諸如 $(x+y)^{n}$ 這樣的函式，而無需經過透過常規方法展開它所需的繁瑣工作。

$(x+y)^{n}=_{n}C_{0}x^{n}y^{0}+_{n}C_{1}x^{n-1}y^{1}+_{n}C_{2}x^{n-2}y^{2}+...+_{n}C_{r}x^{n-r}y^{r}+...+_{n}C_{n}x^{0}y^{n}\,\!$

對於這個等式，基本上會遍歷函式最終乘積中出現的指數 ( $x^{n}y^{0}+x^{n-1}y^{1}+x^{n-2}y^{2}+...+x^{0}y^{n}$ )。由此， $C_{n}$ 用作係數，其中 $C$ 等於帕斯卡三角形 (Pàsikǎ sānjiǎoxíng) 中行的行號，而 $n$ 是該行中的特定數字。

例如： $7_{5}=35$

帕斯卡三角形 (Pàsikǎ sānjiǎoxíng)

                  1                      =Row 0
                1   1                    =Row 1
              1   2   1                  =Row 2
            1   3   3   1                =Row 3
          1   4   6   4   1              =Row 4
        1   5  10  10   5   1            =Row 5
      1   6  15  20  15   6   1          =Row 6
    1   7  21  35  35  21   7   1        =Row 7
  1   8  28  56  70  56  28   8   1      =Row 8
1   9   36 84 126 126  84  36   9   1    =Row 9