IB 數學 SL/微積分

導言

微積分被許多人認為是 IB SL 數學課程中較難的章節之一。

一般方程式

在 f(X) 中 x=a 和 x=b 之間的平均變化率 (AROC)

平均變化率 = ${\frac {f(a)-f(b)}{a-b}}$

x=a 處的瞬時變化率 (IROC) 是 x=a 處切線的斜率

瞬時變化率 =$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}$

函式 f(x) 的導數 f'(x) 的定義（微積分的第一原理）

$f'(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

基本微分

以下公式是求導數的捷徑

冪函式的導數

$f(x)=ax^{n}\,\!$ , $f'(x)=anx^{n-1}\,\!$

指數函式的導數

$f(x)=e^{x}\,\!$ , $f'(x)=e^{x}\,\!$

對數函式的導數

$f(x)=\ln x\,\!$ , $f'(x)={\frac {1}{x}}\,\!$

三角函式的導數

$f(x)=\sin x\,\!$ , $f'(x)=\cos x\,\!$

$f(x)=\cos x\,\!$ , $f'(x)=-\sin x\,\!$

$f(x)=\tan x\,\!$ , $f'(x)={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x\,\!$

兩個函式之和的導數

$f(x)=g(x)+h(x)\,\!$ , $f'(x)=g'(x)+h'(x)\,\!$

鏈式法則

$f(x)=g(h(x))\,\!$ , $f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)\,\!$

乘積法則

$f(x)=uv\,\!$ , $f'(x)=uv'+vu'\,\!$

商法則

$f(x)={\frac {u}{v}}\,\!$ , $f'(x)={\frac {vu'-uv'}{v^{2}}}\,\!$

導數的應用

導數是函式中一個點的斜率。斜率是變化率。因此，透過導數可以確定給定點的變化率。在位移圖中，時間用 x 表示，位置用 y 表示，函式圖上任何一點的導數表示該位置的變化率；這被稱為速度。速度圖的導數表示加速度。

積分簡介

積分求曲線下的面積，也被稱為反導數。這意味著，如果找到導數的積分，就會得到原始方程，但會帶有一個任意常數 c。一種記錄在案的積分方法是使用 u 替換法。

基本積分

積分（來自拉丁語 integer，意思是完整或全部）通常意味著將各個部分組合在一起，使它們協同工作或形成一個整體。在資訊科技中，有幾種常見的用法

1) 產品開發過程中的整合是將單獨生產的元件或子系統組合在一起並解決其互動問題。

2) 整合是由專門從事將不同製造商的產品組合在一起以形成平穩執行系統的公司的活動。

3) 在營銷使用中，據說整合的產品或元件符合以下一個或多個條件

A) 它們具有共同的目的或目標集。（這是最鬆散的整合形式。）

B) 它們都遵循相同的標準或一組標準協議，或者它們共享一種中介功能，例如公共物件請求代理體系結構 (CORBA) 中的物件請求代理 (ORB)。

C) 它們都是同時設計，具有統一的目的和/或架構。（它們可以作為零部件出售，但它們是在相同的更大目標和/或架構下設計的。）

D) 它們共享一些相同的程式設計程式碼。

E) 它們共享一些程式碼的特殊知識（例如更低級別的程式介面），這些知識可能是公開的，也可能不是公開的。（如果不是公開的，公司可能會起訴使其公開，以便競爭公平。）

積分規則

對數函式的積分

指數函式的積分

三角函式的積分

積分的應用

曲線下的面積

積分主要用於求曲線下的面積。

例子

令 $f(x)=2x^{2}+3$

求從 $x=3$ 到 $x=7$ 曲線下的面積。

解

$f(x)=2x^{2}+3$

$A=\int _{3}^{7}f(x)dx$

$A=\int _{3}^{7}(2x^{2}+3)dx$

$A=\left[{\frac {2(7)^{3}}{3}}\right]-\left[{\frac {2(3)^{3}}{3}}\right]$

$A=\left[{\frac {686}{3}}\right]-\left[{\frac {54}{3}}\right]$

$A={\frac {632}{3}}$

總行程

在一個速度-時間函式中，行程可以透過對從初始時間到結束時間的定積分進行求解。

例子

令 $v(t)=t^{2}$ 單位每秒是描述一個粒子運動的速度-時間函式。

求粒子從 $t=2$ 秒到 $t=5$ 秒的行程。

解

$v(t)=t^{2}$ 單位

$t_{initial}=2$ 秒

$t_{final}=5$ 秒

$d=\int _{2}^{5}v(t)dt$ 單位

$d=\int _{2}^{5}t^{2}dt$ 單位

$d=\left[{\frac {(5)^{3}}{3}}\right]-\left[{\frac {(2)^{3}}{3}}\right]$ 單位

$d={\frac {125}{3}}-{\frac {8}{3}}$ 單位

$d=39$ 單位

該粒子從 2 秒到 5 秒移動了 39 個單位。

旋轉體

正弦曲線繞 y 軸旋轉

想象一個函式，$f(x)$。現在將其繞一個軸旋轉形成一個實體。可以使用積分來求解該實體的體積。

所用公式為

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)dx$，其中 a 是左極限，b 是右極限。

例子

設 $f(x)={\frac {1}{x}}$。求其從 x = 2 到 x = 4 的旋轉體的體積。

解

$f(x)={\frac {1}{x}}$

$a=2$

$b=4$

$V=\pi \int _{a}^{b}f(x)dx$ 立方單位

$V=\pi \int _{2}^{4}{\frac {1}{x}}dx$ 立方單位

$V=\pi \left(\left[\ln 4\right]-\left[\ln 2\right]\right)$ 立方單位

$V=\pi \left(\ln 4-\ln 2\right)$ 立方單位

$V=\pi \left(0.69314718056\right)$ 立方單位

$V=2.1775860903$ 立方單位

$V=2.178$ 立方單位（IB 指導考生將計算結果四捨五入到小數點後三位）