主題 2 - 函式與方程

簡介

本節的總體目標是探索函式的概念作為統一主題。此外，考生應該能夠將函式方法應用到各種情況下。預計使用 GDC（圖形顯示計算器）。

函式的概念

複合函式

複合函式是由多個部分或步驟組成的函式。在遇到複合函式之前，您會看到形式為 f(x)、g(x) 等的函式。複合函式中包含另一個函式，例如可以寫成 f(g(x)) 或 g(f(x))。這些分別稱為“f of g of x”和“g of f of x”。f(g(x)) 表示將函式 'g' 應用於 'x'，然後，將函式 'f' 應用於函式 'g' 的輸出。例如，如果 g(x)=2x+3，f(x)=x^2，複合函式為 f(g(x))，'x' 會應用 'g'，變成 '2x+3'。'2x+3' 隨後應用 'f'，變成 (2x+3)^2。

f(g(x)) 不等於 g(f(x))。

反函式

反函式，顧名思義，是函式的反函式，表示為 $f$ ^$-1$ $(x)$ (f(x)^-1)。這是透過在方程中將 $x$ 和 $y$ 互相替換，然後評估函式以使您能夠單獨獲得 $y$ 變數，然後再進行一次。

示例

Ex.1

$f(x)=x^{2}\,\!$

$y=x^{2}\,\!$

$(x)=(y)^{2}\,\!$

${\sqrt {x}}=y\,\!$

$f\,\!$ ^$-1$ $(x)={\sqrt {x}}\,\!$

例 2

$f(x)=3x-2\,\!$

$y=3x-2\,\!$

$(x)=3(y)-2\,\!$

$x+2=3y\,\!$

${\frac {x+2}{3}}=y\,\!$

$f\,\!$ ^$-1$ $(x)={\frac {x+2}{3}}\,\!$

函式影像

水平和垂直漸近線

漸近線可以被描述為一條代表函式最終行為的直線。雖然它可能被函式影像穿過，但不能被穿過無限多個點。漸近線可以是水平的、垂直的或斜的（對角線）。

例如，如果你觀察 $y=1/x$ 的影像，你會發現函式影像雖然接近 x 軸，但永遠不會接觸這條直線。換句話說， $y=0$ 是該函式影像的水平漸近線。

變數的指數

處理函式時，瞭解變數的最高次冪總是好的，這只是眾多事項之一。例如，對於方程 $y=x$ 和 $y=x^{2}$ ，這些函式的行為差異很大。對於 $y=x$ ，函式從第三象限的負無窮大延伸到第一象限的正無窮大。而對於 $y=x^{2}$ ，函式從第二象限延伸到第一象限。

圖表的變換

倒數函式

X ----> 1/x, i.e. f(x) = 1/x is defined as the reciprocal function.

注意

- f(x) = 1/x 在 x = 0 時沒有意義 - f(x) = 1/x 的圖形只存在於第一和第三象限 - f(x) = 1/x 關於 y = x 和 y = -x 對稱 - f(x) = 1/x 是漸近的（接近）x 軸和 y 軸

(來源：國際學生數學，數學 SL，國際文憑課程，作者：約翰·歐文、羅伯特·哈斯、桑德拉·哈斯、馬克·布魯斯)

二次函式

標準形式

$y=ax^{2}+bx+c\,\!$

頂點或轉向點形式

$y=a(x-h)^{2}+k\,\!$ ，其中 (h,k) 是頂點

$(h,k)=({\frac {-b}{2a}},{\frac {4ac-b^{2}}{4a}})$

對稱軸

-b/(2a)

方程的根

${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

其中 b²-4ac 是判別式。它也可以寫成 Δ。

當 Δ>0 時，方程有兩個不同的實根。

當 Δ=0 時，方程有兩個重複的實根。

當 Δ<0 時，方程沒有實根（只有虛根）。

指數函式

在數學中，指數函式是函式 e^x，其中 e 是一個數字（約為 2.718281828），使得函式 e^x 等於其導數。指數函式用於模擬當自變數的恆定變化導致因變數的相同比例變化（增加或減少）時的現象。指數函式也經常寫成 exp(x)，尤其是在 x 是一個表示式，使其作為指數排版起來很麻煩時。

y = e^x 的圖形是向上傾斜的，並且隨著 x 的增加而更快地增加。圖形始終位於 x 軸上方，但對於負的 x 可以任意接近 x 軸；因此，x 軸是水平漸近線。圖形在每個點的斜率等於該點處的 y 座標。逆函式是自然對數 ln(x)；因此，一些較舊的資料將指數函式稱為反對數。

有時，術語指數函式更廣泛地用於形式為 cb^x 的函式，其中基數 b 是任何正實數，不一定是 e。

對數函式