IB 數學 SL/矩陣

主題 4：矩陣

簡介

矩陣的組織

矩陣中的數字稱為條目或元素

矩陣的階定義了它的形狀。例如，2×1 矩陣。第一個數字定義行數，第二個數字定義列數。

只有一列的 n×1 階矩陣稱為列矩陣

例如： ${\begin{bmatrix}1\\5\\6\end{bmatrix}}$

只有一行的 1×n 階矩陣稱為行矩陣

例如： ${\begin{bmatrix}1&5&6\\\end{bmatrix}}$

零矩陣是指所有條目都為零的矩陣。

例如： ${\begin{bmatrix}0&0\\0&0\\0&0\end{bmatrix}}$

單位矩陣是一個方陣，其主對角線（從左上角到右下角）上的條目為 1，其他位置的條目為零。

例如： ${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

矩陣的加減法

兩個或多個相同維度的矩陣 $m$ 和 $n$ 可以相加。給定兩個 m×n 矩陣 A 和 B，它們的和 A + B 是一個 m×n 矩陣，透過將對應元素相加得到。例如

${\begin{bmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{bmatrix}}$

矩陣乘以一個數字

要將矩陣乘以一個數字，將矩陣中的每個元素都乘以這個數字。例如

$2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}$

矩陣乘法

為了進行矩陣乘法，第一個矩陣的列數必須等於第二個矩陣的行數。考慮下面的矩陣 A 和 B

${\begin{bmatrix}1&3&1\\2&-1&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\2&-1\\3&1\end{bmatrix}}$

因此，在這個例子中，2x3 矩陣和 3x2 矩陣可以以任何順序相乘。對於這個例子，將得到一個 2x2 矩陣。注意，如果 3x2 矩陣乘以 2x3 矩陣，將得到一個 3x3 矩陣。透過將矩陣 A 的第一行與矩陣 B 的第一列相乘並對結果求和來進行操作。這將是 2x2 矩陣的第一個元素。將矩陣 A 的第一行與矩陣 B 的第二列相乘。這將是結果 2x2 矩陣的第一行第二列的元素。這個過程如下所示。

繼續使用上面的矩陣 A 和 B

${\begin{bmatrix}1&3&1\\2&-1&1\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}1&1\\2&-1\\3&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+6+3&1+-3+1\\2+-2+3&2+1+1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}10&-1\\3&4\\\end{bmatrix}}$

注意矩陣乘法不滿足交換律。因此 MxN 不等於 NxM

2x3 矩陣是 IBO 在任何考試中要求的手動計算中最複雜的一種，後續矩陣（3x3、3x4、4x4）將透過使用 GDC（圖形顯示計算器）來完成。

2×2 矩陣

與上面顯示的過程類似，只是更簡單。2x2 矩陣乘以 2x2 矩陣總是會產生一個 2x2 矩陣。考慮下面的矩陣 A 和 B

${\begin{bmatrix}4&2\\-1&8\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}-1&3\\2&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-4+4&12+0\\1+16&-3+0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&12\\17&-3\\\end{bmatrix}}$

3×3 矩陣

IBO 不建議 SL 學生手工計算 3x3 矩陣，因為它只是 2x2 矩陣乘法的複雜擴充套件。相反，IBO 建議使用 GDC（圖形顯示計算器）及其上的矩陣函式。