IB 數學 SL/統計與機率

機率

組合事件

當 $(A\land B)$ 和 $(A\lor B)$ 同時發生時，即為組合事件。請注意，當 A 或 B 發生時，A 和 B 也同時發生。這意味著

$P(A\lor B)=P(A)+P(B)-P(A\land B)$

它還意味著 A 發生，**或** B 發生，**或** A 和 B 都發生。

互斥事件

檔案：Venn diagram2.gif

維恩圖中的互斥事件

當兩個事件被稱為互斥事件時，這兩個事件不能同時發生。例如，一次拋硬幣的結果不可能是正面和反面。在維恩圖中，互斥事件不相互交叉，沒有重疊區域。換句話說： $P(A\land B)=0$。因此

$P(A\lor B)=P(A)+P(B)-0$.

因為這兩個事件的交集等於 0。

窮舉事件

當集合 A 和集合 B 包含**所有可能的事件**時，稱為窮舉事件，無論在集合 A 或集合 B 中。這意味著 $P(A\lor B)=U$，其中 *U* 是所有事件的集合，或者換句話說

$P(A\lor B)=1$ .

對於窮舉事件，A 的補集和 A 加起來等於 1

$P(A\lor B)=P(A)+P(A')=1$.

條件機率

條件機率是指在第二個事件一定會發生的情況下，第一個事件發生的機率。請注意，對於互斥事件，條件機率總是等於零。

條件機率可以透過首先找到兩個事件都發生的機率來計算。（對於獨立事件，這只是指 P(A)*P(B)。）然後將結果除以給定事件的機率。

$P(A|B)={\frac {P(A\land B)}{P(B)}}$

獨立性

如果兩個事件滿足以下條件，則稱這兩個事件相互獨立。

$P(A|B)={\frac {P(A\land B)}{P(B)}}=P(A)$

也就是說

$P(A\land B)=P(A)\times P(B)$

統計學

眾數、中位數和平均數

眾數 - 資料集中出現頻率最高的數值。

例如：給定數字集：1,3,4,4,5,7,8,10,13,13,13

數字 13 出現頻率最高，因此眾數為 13

中位數 - 資料集中間位置的數值。要找到中位數，請按順序排列數字，並確定中間位置的數字。

例如：給定數字集：1,3,4,4,5,7,8,10,13,13,13

數字 7 位於資料集中間位置，因此中位數為 7

要了解中位數位於哪個位置

1/2(n+1)=

n 表示資料點的數量；結果是中位數的索引。然後檢視該位置的數字，即中位數。如果資料點的數量為偶數，則中位數位於兩個最“中心”數字之間。例如，在一個包含八個數字的集合中，如果第四個和第五個數字為 6、7，則中位數位於 6 和 7 之間。

平均數 - 資料集的平均值。要找到平均數，將資料集中所有數字加在一起，然後將此總和除以集合中的數字數量。

例如：給定數字集：1,3,4,4,5,7,8,10,13,13,13 <-- 資料集中有 11 個數字將所有數字加在一起：1+3+4+4+5+7+8+10+13+13+13= 79 將總和 (79) 除以資料集中數字的數量 (11) = 79/11 = 7.18

因此，資料集的平均數，即平均數，為 7.18

離散度量

離散度量，也稱為離散度量，衡量資料的分散程度。它們分為兩種型別：不受異常值影響的引數和受異常值影響的引數。

不受異常值影響：標準差，標準差將衡量統計資料中落入某個範圍或標準差內的百分比。據說 68% 的所有資料都落在平均數的一個標準差範圍內。

                      interquartile range,

受異常值影響：範圍，例如，在公司薪資中，最高管理人員的年薪可能高達 400,000 美元，而工廠工人的年薪僅為 10,000 美元，因此，薪資範圍為 390,000 美元。

短語“不受異常值影響”表示該引數忽略了資料集的極端值和異常值。

直方圖

在統計學中，直方圖是以條形圖形式顯示的表格頻率的圖形顯示。它顯示了有多少案例落入多個類別中的每一個：它是一種資料分箱形式。類別通常指定為某個變數的非重疊區間。類別（條形）必須相鄰。區間（或帶、或箱）通常大小相同。

直方圖用於繪製資料密度，通常用於密度估計：估計基礎變數的機率密度函式。用於機率密度的直方圖的總面積始終歸一化為 1。如果 x 軸上的區間長度都為 1，則直方圖與相對頻率圖相同。

直方圖的替代方法是核密度估計，它使用核來平滑樣本。這將構造一個平滑的機率密度函式，它通常能更準確地反映基礎變數。

直方圖是七個基本質量控制工具之一，其他工具包括帕累託圖、檢驗單、控制圖、因果圖、流程圖和散點圖。

期望值

隨機變數 x 發生的期望值由以下公式給出

$E(X)=\sum xP(X=x)$

其中 $X$ 是事件 $x$ 發生的機率。例如，拋硬幣兩次時出現正面次數的期望值為

$E(X)=(0\times {\frac {1}{4}})+(1\times {\frac {1}{2}})+(2\times {\frac {1}{4}})=1$

出現一次正面的機率為 1/2，因為有兩個結果包含一個正面（HT 和 TH）。當一個遊戲被稱為公平時，這意味著期望值為 0。E(X)= 0

二項分佈

一個分佈是二項分佈當且僅當它符合以下四個引數：1）結果是獨立的 2）只有兩種結果，成功或失敗 3）成功的機率是恆定的 4）試驗次數是固定的。例如，有一個裝有 10 個彈珠的袋子，其中 5 個是紅色的，3 個是藍色的，2 個是綠色的。如果從袋中抽取 5 個彈珠（有放回），那麼抽到正好 2 個紅色彈珠的機率是多少？這是二項分佈，因為結果是獨立的，要麼是紅色要麼不是紅色，成功的機率是 0.5，試驗次數是 5。為了解決二項分佈問題，可以使用以下公式：_nC_k(p)^k(1-p)^n-k，其中 n 是試驗次數，k 是成功的次數，p 是成功的機率。對於之前的問題，公式為：₅C₂(.5)²(1-.5)^5-2，結果為 10*.25*.125 = .3125，這意味著抽到正好 2 個紅色的機率是 31.25%。

正態分佈

正態分佈是一個連續分佈，由兩個引數定義：均值 $\mu$ 和標準差 $\sigma$。由於正態曲線的對稱性，均值等於眾數和中位數。

標準正態分佈

標準正態分佈曲線示例

標準正態分佈的均值為 0，標準差為 1。曲線下的面積（機率）為 1。

為了找到正態曲線下的面積，學生可以使用 TI 計算器中的 normalcdf() 函式。語法為

normalcdf (下限，上限，均值，標準差)

機率質量函式

一般來說，如果隨機變數 K 遵循引數為 n 和 p 的二項分佈，我們寫成 K ~ B(n, p)。在 n 次試驗中獲得正好 k 次成功的機率由 機率質量函式 給出

$\Pr(K=k)=f(k;n,p)$

$\Pr(K=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}$

對於 k = 0, 1, 2, ..., n 以及

${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$

是 二項式係數（因此得名）"n 選擇 k"，也記作 C(n, k),  _nC_k 或 ⁿC_k。公式可以理解如下：我們想要 k 次成功（p^k）和 n − k 次失敗 (1 − p)^n − k。但是，k 次成功可以在 n 次試驗中的任何位置發生，並且在 n 次試驗中分配 k 次成功的不同方式有 C(n, k) 種。

在建立二項分佈機率的參考表時，通常將表填充到 n/2 的值。這是因為對於 k > n/2，機率可以透過其補集計算，如下所示

$f(k;n,p)=f(n-k;n,1-p).\,\!$

因此，必須檢視不同的 k 和不同的 p（二項分佈一般來說是不對稱的）。但是，它的行為不是任意的。總是存在一個整數 m 滿足

$(n+1)p-1<m\leq (n+1)p.\,$

作為 k 的函式，表示式 ƒ(k; n, p) 在 k < m 時單調遞增，在 k > m 時單調遞減，只有一個例外，即 (n + 1)p 是整數。在這種情況下，對於 m = (n + 1)p 和 m − 1 有兩個最大值。m 被稱為伯努利試驗中最可能的（最有可能的）結果。請注意，它發生的機率可能很小。