主題 4：向量

引言

向量可以用三角函式來數學描述。

我們可以將向量定義為由大小和方向組成的有序對。在此圖中，r 是此向量的大小，θ 是方向。現在請注意，我們已水平移動了r cos(θ) 和垂直移動了r sin(θ)。這些分別稱為x 分量和y 分量。

我們還可以用 x 和 y 分量來方便地寫出向量。我們用 ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}$ 表示向量。在某些文字中，您可能會看到向量以橫向書寫，例如 (x, y)，但在書寫時，將其向下書寫為列將非常有幫助。在印刷品中，我們通常將向量加粗，但由於您可能沒有能寫出粗體字的筆，因此請在向量下方加下劃線，即寫為v，或在向量下方新增波浪線，或在向量上方放置一個指向右邊的箭頭。

向量的長度

可以使用距離公式根據向量的分量找到向量的幅值 r，公式如下：

\left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {{a_{1}}^{2}+{a_{2}}^{2}+{a_{3}}^{2}}}

其中 a1、a2 和 a3 是向量的三個分量。

向量相等

如果兩個向量具有相同的大小和方向，則稱它們相等。但是，如果我們談論的是有向線段，則兩個有向線段相等，如果它們具有相同的起點和終點。

例如，基點為 (1,0,0) 的向量 i + 2j + 3k 和基點為 (0,1,0) 的向量 i+2j+3k 是不同的有向線段，但卻是相同的（位移）向量。

標量乘法

對於標量乘法，我們只需將每個分量乘以標量即可。我們通常用希臘字母表示標量，用羅馬字母表示向量。

因此，對於標量值為 λ 和由 r 和 θ 定義的向量 v，新向量現在為 λr 和 θ。請注意方向沒有改變。

示例

假設我們有 ${\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}$ ，並且我們希望將其幅值加倍。因此， $2{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$ 。

向量的加法

簡單來說，要將兩個向量相加，必須將各自的 x 分量加在一起以獲得新的 x 分量，並且同樣地將兩個 y 分量加在一起以獲得新的 y 分量。

示例

假設我們有 $\mathbf {v_{1}} ={\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}},\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}$ ，並且我們希望將它們相加。因此， $\mathbf {v_{1}} +\mathbf {v_{2}} ={\begin{pmatrix}6\\9\end{pmatrix}}$ 。