IB 物理/測量與不確定度 (2016)/不確定度和誤差 (2016)

誤差

物理學是一門實驗科學，並非所有測量都能無限精確地進行。因此，物理學家開發了數學方法來處理現實世界中進行實驗時出現的誤差，這門學科稱為誤差分析。在 IB 物理中，這部分內容會進行簡單的測試，但對於你的 IA（獨立研究）來說至關重要，因為你需要進行實驗。從最正式的角度來看，誤差可以看作是測量值與公認（或真實）值之間的偏差或差異。

隨機誤差

隨機誤差是指實驗者發現的，但未知且不可預測的誤差，影響了測量值。它通常是由以下原因造成的

1. 實驗條件的變化，例如溫度的隨機波動。在這種情況下，最大隨機誤差（或不確定度）的大小是不可預測的，通常是未知的。
2. 從測量儀器上讀取測量值時的估計，例如從數字秤上獲取物體的質量。在這種情況下，你通常可以從測量儀器的精度瞭解最大隨機誤差（或不確定度）的大小。

在進行物理實驗時，為了獲得最準確的結果，減少測量中的隨機誤差非常重要。

減少實驗中隨機誤差最簡單的方法是使用更精確的裝置。精度指的是測量值彼此之間的接近程度。測量值精確並不意味著它接近真實值，僅僅意味著它非常可靠地一致。例如，你可以使用精度為 0.01 克的電子秤，而不是精度為 1 克的廚房秤。

系統誤差

系統誤差是指導致某數量的測量值與真實值之間存在相當一致的偏差的誤差。它們通常與特定的測量儀器或實驗技術有關。

例如，如果你使用一根 30 釐米長的塑膠尺，尺的 0 釐米和 30 釐米刻度線兩側都有 0.3 釐米的邊緣，並在使用時錯誤地將尺的末端視為真正的 0 刻度線，然後將尺與，比如，一個塊的高度對齊進行測量，就會產生系統誤差。這種系統誤差稱為零點誤差，之所以這樣命名是因為測量實際值為 0 釐米時會產生 0.3 釐米的系統誤差。

你可以透過識別裝置和方法中的系統誤差，然後在計算中進行修正（通常是透過減法），來減少實驗中的系統誤差。你還可以使用經過校準沒有系統誤差的裝置，以及使用現有裝置的方式來避免產生系統誤差，例如從尺的真實 0 釐米刻度線處進行測量，來減少系統誤差。

不確定度

不確定度是新增到某數量的公認值中的額外資訊，表示我們對該數量的認識有多精確。

例如，你可能用一根精度為 $0.001\,\mathrm {m}$的捲尺測量了一根銅線的長度為 $0.600\,\mathrm {m}$。在模擬尺上測量長度是指找到兩點在尺上的位置，然後求出兩點之間的差值。尺上的每個點相隔一毫米，因此可以透過與尺上一個點相距最多半毫米的點來記錄線的實際起點和終點。這兩個點的差值產生的總不確定度為兩個半毫米，即一毫米。

因此，我們將表示我們對銅線長度知識的量寫成 $0.6\,\mathrm {m} \pm 0.001\,\mathrm {m}$。中心的符號讀作“正負”，它表明該值可能高達 $0.6\,\mathrm {m} +0.01\,\mathrm {m} =0.601\,\mathrm {m}$，或低至 $0.6\,\mathrm {m} -0.001\,\mathrm {m} =0.599\,\mathrm {m}$。也就是說，從接受值減去不確定度到接受值加上不確定度。

注意：這種對正負號的使用意味著不確定度始終是正數，應按此對待。這就是為什麼在所有關於不確定度的公式中都有 $|\mathrm {absolute\,value\,signs} |$。這些符號意味著您必須將它們內部的任何內容（正或負）更改為大小相等的正數。這些符號在數學中有其他含義，但這超出了本維基百科的範圍。

絕對不確定度

絕對不確定度是附加到數量的不確定度，該數量具有某個已知值。它回答了這個問題 - 我們到底錯了多少？它不是接受值的比例。給定量 $x$ 的絕對不確定度寫成 $\Delta x$。例如，如果我們知道 $x=300\pm 6$，我們可以說 $\Delta x=6$。

您應該將它們寫成最多 1 或 2 個（根據您的判斷）有效數字。這樣做的原因是，額外的有效數字不會為我們對主值的理解增加任何實際意義。

分數不確定度

分數不確定度是附加到數量的不確定度，它表示所涉及的絕對不確定度的量級，作為數量接受值的比例。簡單地說，它回答了這個問題 - 我們的錯誤有多大？例如，在我們關於電線的示例中，我們可以像這樣計算不確定度

${\frac {\Delta x}{x}}={\frac {0.001\,\mathrm {m} }{0.600\,\mathrm {m} }}=0.001666\ldots$

通常不需要四捨五入分數不確定度，因為很多時候它是計算更復雜事物時的中間步驟。符號 ${\frac {\Delta x}{x}}$ 表示分數不確定度。

百分比不確定度

量的百分比不確定度與分數不確定度非常相似，區別在於它們是用百分比表示而不是分數或小數。將分數或小數轉換為百分比的數學技能超出了IB物理課程大綱的範圍，因此這裡將不作詳細介紹。

對於我們用尺子的例子，百分比不確定度很容易透過將分數不確定度轉換為百分比來求得。表示百分比不確定度的符號，${\frac {\Delta x}{x}}$，是相同的。請看這裡

${\frac {\Delta x}{x}}={\frac {0.001\,\mathrm {m} }{0.600\,\mathrm {m} }}=0.001666\ldots =0.17\ldots \%\approx 0.2\%$

百分比不確定度是透過值比例表示不確定度的常用方法。與絕對不確定度完全相同，您應該將其寫成最多 1 或 2 位有效數字（根據您的判斷）。

平均值的不確定度

當您進行了多次測量以求得平均值並提高準確性時，有兩種方法可以確定最終平均值的不確定度。

1. 如果資料的範圍超過在保持相同絕對不確定度的情況下平均值的可能值範圍，那麼您必須在表達最終值時考慮這一點。例如，如果您對某個值的實驗資料為$5.5\pm 0.2,6.5\pm 0.2,7.5\pm 0.2$，那麼您低估了隨機誤差，因為可能值的範圍不會重疊在一個單一值上。您需要糾正這一點。這樣做的經驗法則，是平均值的絕對不確定度為資料範圍的一半；這樣做的原因是將所有資料點都包含為可能值。在我們的例子中，資料的範圍是$2.0$，因此我們將平均值表示為$6.5\pm 1$.
2. 如果每個值的不確定度意味著每個讀數的真實值的可能範圍小於資料的範圍，那麼在表達資料的平均值時，您只需保留相同的絕對不確定度。例如，如果您的資料為$6.6\pm 0.2,6.5\pm 0.2,6.7\pm 0.2$，那麼，因為每個值都在平均值的不確定度內（$6.6\pm 0.2$），因此不需要為了考慮資料的分佈而增加不確定度。

關於在進行平均值計算來使測量更準確時，保持平均值相同的絕對不確定度的推理將在接下來的幾節中進行解釋。

圖形分析

根據實驗資料繪製兩個量之間關係圖的技能通常是IB物理課程的前提條件。但是，以下是對如何繪製圖形的快速複習。

1. 如果需要進行分析，將軸線線性化以測試直線圖：如果$A^{3}=kB^{2}$，那麼在軸線上繪製$A^{3}$ 和 $B^{2}$，而不是保留這兩個量本身。
2. 在圖形上包含一個描述性標題，並開啟所有主要和次要網格線。
3. 在格式為“描述符號 /單位”的格式中標記軸；例如，像“距離 $s\,/\mathrm {m}$”這樣的標籤是合適的。
4. 確保軸上的數字以邏輯方式標記和間隔 - 單位除外，因為您已經在您的標記方案中將數量除以單位。
5. 通常，物理學家會透過繪製他們正在改變的事物（自變數）在水平 x 軸上，以及繪製他們正在測量的事物（因變數）在垂直 y 軸上來分析實驗。
6. 確保您使用“X”標記或“+”標記而不是圓形斑點來指示繪製的點，使其在視覺上更加精確。

這幾乎是您在 IB 課程之前應該掌握的物理繪圖技能的總和。對於本文的其餘部分，假設我在談論 Microsoft Excel（2020）（而不是 Google Sheets - Sheets 無法進行正確的誤差條和不確定性分析）。

誤差條

誤差條是物理學家對不確定性的最有用直觀解釋。它們是繪製標記的擴充套件，顯示了標記指示的真實值可能在圖形上向上、向下、向左或向右繪製的距離；該知識是基於您正在繪製的值的不確定性。在 Google 圖片上搜索：“誤差條物理學”，以瞭解它們的直觀想法。

實驗的誤差條可能大小都相同，或者不同的點可能具有不同的不確定性 - 在這種情況下，您應該記錄或生成一列不確定性值（例如，一列用於 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 以及 $x$ 和 $y$ 的典型列），供電子表格軟體用作誤差條的值。

一般來說，y 軸上下和 x 軸左右的誤差條大小相同，除非您確切地知道一個方向的不確定性遠小於或遠大於另一個方向的不確定性。

有時，誤差條不適合圖形，僅僅是因為它們太小。例如，如果您使用的是幾米長的長度，但您對長度的不確定性只是毫米 - 這是尺子的精度 - 那麼您在長度方面繪製的誤差條可能在繪製的圖形上太小而可以忽略不計。

在這一節之後，一個有用的練習是看看您是否可以利用基於誤差條的繪圖和直覺來證明將不確定量加在一起的規則，將不確定量乘以常數，以及作為挑戰，將兩個不確定量相乘或相除。

梯度和截距的不確定性

在物理學中找到梯度或截距的不確定性非常有用，因為它允許對我們無法直接測量的量進行“計算”不確定性值。

例如，大多數涉及自由落體加速度的實驗， $g$，並沒有直接測量它 - 而是從另一個因變數和自變數中推匯出它，也許作為將這兩個變數聯絡在一起的圖形的梯度。另一個例子是實驗如何確定絕對零值的。19 世紀的物理學家絕對無法使用任何裝置將物體的溫度降至絕對零度附近，他們使用連線兩個關於氣體行為的量的圖形的 x 截距來確定它。

這裡要使用的技術稱為“最大-最小線”的使用。本質上，您嘗試繪製一條“最大線”，這條線儘可能陡峭，但仍穿過所有誤差條，然後繪製一條“最小線”，這條線儘可能平緩，但同樣穿過所有誤差條。這樣做的邏輯是您正在將誤差條推到它們的極限，利用您對真實點可能位於誤差條建立的矩形內部的任何位置的瞭解。

建立這些最大-最小線後，您可以將更陡峭的梯度視為最大可能的梯度，然後您可以將更平緩的梯度視為最小可能的梯度。根據經驗，您通常可以取兩個梯度的算術平均值（相加後除以 2）來獲得梯度的“測量值”。自然地，隨之而來的是，您的測量梯度與最大和最小可能梯度之間的差距是不確定性在梯度中。

您可以使用類似的技術分析圖形的截距（與另一條線的截距、與軸的截距等）。注意截距的極端可能值，將它們視為最大值和最小值，然後，再次取值的算術平均值作為您的“測量值”。截距的不確定性是從測量值與極端值之間的差值計算出來的。

用範圍表達不確定性

當然，也有一些例外。例如，您可能會意識到，在接近垂直的某種模式中，最大線和最小線之間的差異最終可能會變得很大 - 想象最小值為 10，最大值為 5,000。在這裡，取算術平均值是不合適的，因此，*出於必要*，您必須將梯度表示為一個範圍（即 $10\leq m\leq 5,000$）。

用範圍表示任何形式的不確定性是一個簡單的技能。雖然不總是必要，但它可能會有所幫助。一般來說，給定一個不確定的量 $x\pm \Delta x$，知道極值是 $m-\Delta m\leq m_{real}\leq m+\Delta m$，例如 $300\pm 6$，我們將用範圍語句“$x$ 在 294 和 306 之間”；或者簡單地用區間/不等式 $294\leq x\leq 306$ 表示我們對該量的認識。

計算：不確定度的傳播

當確定一個本身由其他不確定的值計算得到的值的不確定度時，以下規則適用。

加減值

當將值彼此相加或相減時，需要將絕對不確定度加在一起。

例如，$6.0\pm 0.2+4.2\pm 0.1=10.2\pm 0.3$。

這樣做的理由是，當新增兩個不確定的值時，$a\pm \Delta a$ 和 $b\pm \Delta b$，可能的最低值是 $(a+b)-\Delta a-\Delta b$，而可能的最高值是 $(a+b)+\Delta a+\Delta b$。可能值的總範圍等於您加在一起的兩個量的可能值的範圍之和。換句話說，

• 如果 $a+b=c$，
• 那麼 $\Delta a+\Delta b=\Delta c$
• 因為 $a\pm \Delta a+b\pm \Delta b=(a+b)\pm (\Delta a+\Delta b)$。

將不確定的值乘以或除以精確值

關於將不確定度透過乘法和除法傳播的規則可能是最重要的規則之一。

如果你有一些不確定的值 $a\pm \Delta a$，那麼它可以取到一個最小值為 $a-\Delta a$ 和一個最大值為 $a+\Delta a$。如果你將最小值和最大值分別乘以某個精確因子 $k$，那麼你將得到一個最小值為 $ka-k\Delta a$ 和一個最大值為 $ka+k\Delta a$。

主值被放大了一個因子 $k$，變成了 $ka$。同時，我們可以看到，最小值和最大值也放大了相同的因子——它們比 $ka$ 低或高的量，也就是 $ka$ 的不確定性，也相應地被放大了 $k$ 倍。

從數學的角度來說，我們可以用一個非常簡單的形式來表達它——$\Delta ka=k\Delta a$。在 IB 公式手冊中，這個實際上並沒有包含進去——你可能已經注意到，這實際上只是關於將不確定的量加在一起的規則的應用。

將一個量除以一個常數，我們稱之為 $j$，可以看作是乘以 ${\frac {1}{j}}$。因此，與上一段類似，$\Delta {\frac {a}{j}}={\frac {1}{j}}\Delta a$。

舉個例子——假設你有一個不確定的量 $100\pm 4$。如果你將這個量除以 4，你將得到 $25\pm 1$；絕對不確定度被除以 4，而 *百分比不確定度保持不變*——這是一個非常重要的需要牢記的事實。如果你將這個不確定度乘以 4，你將得到 $400\pm 16$。請注意，我已經保留了第二位有效數字；這是因為將其四捨五入到絕對不確定度為 20 會使其比實際上的不確定度更大（不確定度增加了 25%！這 *確實是* 一個有意義的差異，因此我根據自己的判斷得出結論，這裡保留兩位有效數字是合適的）。

將兩個不確定的值相乘或相除

當我們將不確定的值彼此相乘或相除時，規則會變得更加複雜。讓我們嘗試在將兩個不確定的量相乘時找到最小值和最大值。

假設你有兩個量，$a$ 和 $b$，相乘得到量 $c$。假設每個資料的不確定度分別為 $\Delta a$ 和 $\Delta b$。換句話說，$ab=c$。

最小情況下，$c=(a-\Delta a)(b-\Delta b)=ab-a\Delta b-b\Delta a+\Delta a\Delta b$，取初始資料的最小值。最大情況下，$c=(a+\Delta a)(b+\Delta b)=ab+a\Delta b+b\Delta a+\Delta a\Delta b$。

試著在你的紙上用鉛筆計算一下 - 如果你從最大值中減去最小值，你會發現一個範圍值為 $2(a\Delta b+b\Delta a)$；不確定度為 $a\Delta b+b\Delta a$。你還會發現，量 $c$ 的測量值為 $ab+\Delta a\Delta b$，因為這是最小值和最大值之間的中心點。考慮到，通常，$\Delta a\Delta b$ 會太小，不會影響測量值。你可以基本將其忽略為 0。因此，我們對 $c$ 的最終值為 $ab\pm (a\Delta b+b\Delta a)$。

一般來說，兩個不確定值的乘法規則是，結果的百分比不確定度等於你相乘在一起的百分比不確定度的總和。這是在上面的計算中可以觀察到的一個特性。如果我們嘗試計算 $ab$ 中的總體百分比不確定度，我們會得到以下結果。

${\frac {a\Delta b+b\Delta a}{ab}}=|{\frac {\Delta a}{a}}|+|{\frac {\Delta b}{b}}|$

這解釋了將兩個不確定的量相乘的規則。現在我們應該考慮如果我們將一個不確定的量除以另一個量會發生什麼。假設我們有一個量${\frac {a}{b}}=c$. $a$ 和 $b$ 都是不確定的，其量為 $\Delta a$ 和 $\Delta b$，如前所述。

最大值，$c={\frac {a+\Delta a}{b-\Delta b}}$. 最小值，$c={\frac {a-\Delta a}{b+\Delta b}}$. 這兩個量之間的差值是 ${\frac {a+\Delta a}{b-\Delta b}}-{\frac {a-\Delta a}{b+\Delta b}}={\frac {ab+\Delta a\Delta b+a\Delta b+b\Delta a-(ab-a\Delta b-b\Delta a+\Delta a\Delta b)}{b^{2}-(\Delta b)^{2}}}=2{\frac {a\Delta b+b\Delta a}{b^{2}-(\Delta b)^{2}}}$. 如前所述，$(\Delta b)^{2}$ 通常是一個對最終結果無關緊要的量，因此我們將其抵消為 0。請記住，這裡的代數非常困難，我不期望本教科書的每位讀者都能夠理解它。除法的通用規則將在後面給出。

我們發現，除以二後，絕對不確定度為 ${\frac {a\Delta b+b\Delta a}{b^{2}}}={\frac {a}{b}}({\frac {\Delta b}{b}}+{\frac {\Delta a}{a}})$. 你可能會意識到，這種絕對不確定度是新值乘以百分比不確定度之和——新值的百分比不確定度是初始百分比不確定度之和。你可能想稍後返回本節，嘗試自己完成代數。在此之前，需要記住的規則非常簡單，如下所示。

總結一下——當將兩個不確定的量相乘或相除時，答案的百分比不確定度可以透過將兩個輸入的百分比不確定度加起來得到。當$a=bc={\frac {d}{f}}$

$|{\frac {\Delta a}{a}}|=|{\frac {\Delta b}{b}}|+|{\frac {\Delta c}{c}}|=|{\frac {\Delta d}{d}}|+|{\frac {\Delta f}{f}}|$

將不確定值進行乘方運算

當將不確定值，我們將其稱為$x$，進行乘方運算，我們將其稱為$n$時，規則實際上很簡單。你需要將$x$的原始百分比不確定度乘以該冪的絕對值。這基本上是我們從不確定量相乘和相除規則中得到的直接邏輯結論。

例如，如果我們想要計算 $x^{4}$ 的百分比不確定度，我們只需要注意到 $x^{4}=x\times x\times x\times x$。如果我們想要計算 ${\frac {1}{x^{3}}}$ 的百分比不確定度，我們只需要注意到 $x^{-3}=1/x/x/x$。在第一種情況下，我們將四個 $x$ 乘在一起，因此百分比不確定度必須是 ${\frac {\Delta x^{4}}{x^{4}}}=|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|=4|{\frac {\Delta x}{x}}|$。在第二種情況下，我們將一個精確的量除以 $x$ 3 次，因此百分比不確定度必須是 ${\frac {\Delta x^{-3}}{x^{-3}}}=|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|+|{\frac {\Delta x}{x}}|=3|{\frac {\Delta x}{x}}|=|-3{\frac {\Delta x}{x}}|$.

如果我們要將這個不確定性原理應用於分數和十進位制冪，則需要更多的數學證明。但是，我只是要省略它——數學超出了本課程的範圍。為了總結在本節中所學到的知識

${\frac {\Delta x^{n}}{x^{n}}}=|n{\frac {\Delta x}{x}}|$

特殊函式

對於 IB SL 和 HL 物理，在將一個值經過特殊函式處理後（例如 $\mathrm {sin}$ 或 $\mathrm {ln}$）計算其不確定性是沒有必要的。在進行需要此計算的分析工作時，函式輸入的分數不確定性被視為其輸出的分數不確定性。例如，如果我對數量 $A$ 的不確定度為 $1\%$，那麼我對 $\sin A$ 或 $\ln A$ 的不確定度也為 $1\%$。

本段只與一些需要此計算的非常困難的 IA 主題相關。對於某些函式 $f(x)$，當 $x$ 發生 $\Delta x$ 的變化時，會導致 $f(x)$ 發生大小差異很大的變化，更合適的做法是手動計算數量從 $x+\Delta x$ 到 $x-\Delta x$ 的可能實數值範圍內 $f(x)$ 的最高和最低可能值，它們通常（但並非總是）等於 $f(x+\Delta x)$ 和 $f(x-\Delta x)$。