IB 物理/力學

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主題 2：力學

運動學 (2.1)

運動學概念

2.1.1 定義位移、速度、速率和加速度。

運動學單位

	符號	定義	SI 單位	向量還是標量？
位移	${\vec {s}}$	物體在特定方向上移動的距離。	${\text{m}}$	向量
速度	${\vec {v}}$ 或 ${\vec {u}}$	位移變化率。 ${\vec {v}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {s}}={\dfrac {\text{change in displacement}}{\text{change in time}}}.$	${\text{m}}\,{\text{s}}^{-1}$	向量
速率	$v$ 或 $u$	距離變化率。 $v={\dfrac {d}{t}}={\dfrac {\text{distance}}{\text{time}}}.$	${\text{m}}\,{\text{s}}^{-1}$	標量
加速度	${\vec {a}}$	速度變化率。 ${\vec {a}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {v}}={\dfrac {\text{change in velocity}}{\text{change in time}}}.$	${\text{m}}\,{\text{s}}^{-2}$	向量

• 向量量總是有與之相關的方向。

2.1.2 定義並解釋速率、速度和加速度的瞬時值和平均值之間的區別。

• 平均值 - 在一段時間內。

• 瞬時值 - 在某一特定時間。

2.1.3 概述可以應用勻加速運動方程的條件。
加速度必須恆定

運動的圖形表示

2.1.4 繪製和分析距離-時間圖、位移-時間圖、速度-時間圖和加速度-時間圖。

2.1.5 分析和計算位移-時間圖和速度-時間圖的斜率，以及速度-時間圖和加速度-時間圖下的面積。將這些與相關的運動學量聯絡起來。

勻加速運動

Determine the velocity and acceleration from simple timing situations

${\begin{aligned}&\left[{\vec {a}}={\dfrac {{\vec {v}}-{\vec {u}}}{t}}\right]&&\left[{\vec {s}}={\dfrac {({\vec {u}}+{\vec {v}})t}{2}}\right]&&&\left[{\vec {s}}={\vec {u}}t+{\dfrac {1}{2}}{\vec {a}}t^{2}\right]&&&&\left[{\vec {v}}^{2}={\vec {u}}^{2}+2{\vec {a}}{\vec {s}}\right].\\\end{aligned}}$

Derive the equations for uniformly accelerated motion.

勻加速運動有三個公式。第一個公式是從加速度定義為速度變化率推匯出來的，

即

${\text{acceleration}}={\vec {a}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {v}}={\dfrac {\text{change in velocity}}{\text{change in time}}}.$

設初速度和末速度分別用$u$ 和 $v$ 表示，加速度用 $a$ 表示，時間用 $t$ 表示，則

${\vec {a}}={\dfrac {{\vec {v}}-{\vec {u}}}{t}}.$

將 v 作為主語，我們得到，

${\vec {v}}={\vec {u}}+{\vec {a}}t,$

這是第一個運動方程。

Describe the vertical motion of an object in a uniform gravitational field.

Describe the effects of air resistance on falling objects.

Solve problems involving uniformly accelerated motion.

力和動力學 (2.2)

力和自由體圖

識別作用於物體的力，並繪製自由體圖來表示作用的力。每個力都應該用名稱或公認的符號標記。向量的長度應大致與其大小成比例。

牛頓第一定律

牛頓第一運動定律指出，除非受到非平衡力的作用，否則物體將保持靜止或以恆定速度運動。

平衡

平衡是系統中競爭性影響（例如力）處於平衡狀態的條件。

牛頓第二定律

$\sum {\vec {F}}=m{\vec {a}}.$

或者

$\sum {\vec {F}}={\dfrac {\partial }{\partial t}}\,{\vec {p}}={\dfrac {\text{change in momentum}}{\text{change in time}}}.$

換句話說，合力是牛頓第二定律中唯一重要的因素。運動的方向取決於合力的方向。

牛頓第三定律

如果物體 A 對物體 B 施加力，則物體 B 會在連線線方向上對物體 A 施加大小相等、方向相反的力。

每一個作用力都有一個大小相等、方向相反的反作用力。這就是為什麼你能把咖啡杯放在桌子上而不會掉下去。桌子提供一個向上的正向反作用力來抵消向下的重力，因此 F(淨) = 0，你的咖啡杯就會留在桌子上。需要注意的是，相反的反作用力必須沿著連線線發生，即相反力的向量箭頭必須指向第一個力，同時保持相反方向。

慣性質量、引力質量和重量 (2.3)

物體的慣性質量定義為施加力 ${\vec {F}}$ 與其加速度 ${\vec {a}}$ 之比，其中 ${\vec {F}}$ 和 ${\vec {a}}$ 不高於一維向量，因為向量除法在超過一維後就沒有定義了。

$m_{inertial}={\dfrac {\vec {F}}{\vec {a}}}$

說明牛頓第一運動定律 (2.2.4)

在古代，亞里士多德認為力是使物體保持運動所必需的。速度越高，所需的力就越大。亞里士多德對力的概念並不荒謬，實際上與我們日常生活中的經驗相符：確實需要力才能將一件傢俱從房間的一個角落推到另一個角落。亞里士多德沒有認識到的是，日常生活充滿了摩擦力。運動的物體之所以會靜止下來，是因為存在摩擦力，因此如果要使物體繼續運動，就需要力。這個力是用來抵消阻礙運動的摩擦力的。在一個理想化的沒有摩擦力的世界裡，一個被設定為運動的物體並不需要力來使其保持運動。伽利略在亞里士多德之後 2000 年，第一個認識到靜止狀態和以恆定速度沿直線運動的狀態是不可區分的。因為靜止狀態下沒有力，所以以恆定速度沿直線運動的狀態下也不需要力。力與速度的變化（即加速度）有關。

牛頓第一定律（概括了伽利略的論述）指出以下內容

當沒有力作用在物體上時，該物體將保持靜止狀態或以恆定速度沿直線運動。

一個以加速度運動的物體（即速度或運動方向發生變化）一定受到力的作用。冰球在冰面上滑動，幾乎沒有摩擦力，因此會以恆定速度沿直線運動。離開太陽系的航天器關閉發動機後，沒有力作用在其上，它將繼續以恆定速度沿直線運動（直到遇到另一個會吸引或撞擊它的物體）。利用第一定律，很容易判斷是否有力作用在物體上。例如，地球繞太陽旋轉，因此我們立刻就知道有一個力作用在地球上。

牛頓第一定律也被稱為慣性定律

慣性是物體抵抗其運動狀態改變的性質。當沒有力作用在物體上時，慣性使物體保持其運動狀態不變。當汽車向前加速時，乘客會被甩到座位上。如果汽車突然剎車，乘客會被甩到前面。這意味著質量傾向於保持它在力作用於它之前的運動狀態。物體對運動狀態改變的反應就是慣性。

一個著名的慣性例子是魔術師突然從桌子上拉開桌布，而所有的盤子、玻璃杯等都留在桌子上。這些物體的慣性使它們“想要”留在它們所在的位置上。類似地，如果你猛地拉一下一卷衛生紙，你會撕下一張紙。但是，如果你輕輕地拉，你只會使紙捲旋轉。

功、能和功率 (2.5)

功

功指的是一個活動，它涉及一個力以及沿力方向的運動。它是一個標量，用焦耳（SI 單位為牛頓米）測量，可以定義為

$W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}\,{\text{cos}}(\theta )$

其中 ${\vec {F}}$ 是作用於物體的力，${\vec {s}}$ 是物體的位移，${\text{cos}}(\theta )$ 是力與位移之間的夾角的餘弦，其中 $\cdot$ 是點積。

在一個線性示例中（力作用方向與位移方向相同），${\text{cos}}(\theta )$ 等於 $1$，並且公式簡化為 $W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$.

示例計算

如果一個 20 牛頓的力推動一個物體在力作用方向上移動 5 米，那麼做了多少功？

${\begin{aligned}&F=20\,{\text{N}}\\&s=5\,{\text{m}}\\&W={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}=20\times 5=100\,{\text{J}}\\\end{aligned}}$

答案:做了 100 焦耳的功。

示例（何時做功？)

Force making an object move faster (accelerating)
Lifting an object up (moving it to a higher position in the gravitational field)
Compressing a spring

何時不做功？

When there is no force
Object moving at a constant speed
Object not moving

一些有用的公式;

如果一個物體被垂直提起，則對其做的功可以使用以下公式計算

$W=m\,g\,h$

其中 $m$ 是以千克為單位的質量，$g$ 是地球的重力場強度 ($10\;N\,kg^{-1}$)，$h$ 是以米為單位的高度。

壓縮或拉伸彈簧所做的功

$W={\dfrac {1}{2}}\,k\,{\vec {s}}^{2}$

其中 $k$ 是胡克常數，${\vec {s}}$ 是位移。

能量和功率

能量是做功的能力。你轉移的能量等於所做的功。能量是做功量度的量度，這意味著能量和功的單位必須相同——焦耳。能量就像做功的“貨幣”。要做 $100$ 焦耳的功，你必須消耗 $100$ 焦耳的能量。

能量守恆

在任何情況下，能量的變化必須得到解釋。如果它被一個物體“損失”，它就必須被另一個物體獲得。這就是能量守恆原理，它可以用多種方式表述。

一個封閉系統的總能量必須保持不變

能量既不能被創造也不能被毀滅，它只是改變了形式。

宇宙的總能量沒有變化

能量可以存在於許多不同的型別，包括

動能、重力勢能、彈性勢能、靜電勢能、熱能、電能、化學能、核能、內能、輻射能、太陽能和光能。

你需要前三個的方程

${\text{Kinetic energy}}=E_{K}={\dfrac {1}{2}}\,m{\vec {v}}^{2}$ 其中 $m$ 是以 ${\text{kg}}$ 為單位的質量，$v$ 是速度 (以 $m\,s^{-1}$ 為單位)

${\text{Gravitational potential energy}}=E_{p}=mg\Delta h$ 其中 $m$ 是質量，單位為 ${\text{kg}}$，$g$ 是重力場強度，$\Delta h$ 是高度的變化。

${\text{Elastic potential energy}}=E_{p}={\dfrac {1}{2}}\,k\,\left(\Delta x\right)^{2}$ 其中 k 是彈簧常數，$\Delta x$ 是伸長量。

功率 - 用瓦特 (${\text{W}}$) 或焦耳每秒 (${\text{J}}\,{\text{s}}^{-1}$) 測量 - 是做功的速率或能量傳遞的速率。

${\text{Power}}=P={\dfrac {\text{energy transferred}}{\text{time taken}}}={\dfrac {E}{t}}.$

如果某物體以恆定速度 $v$ 抵抗恆定摩擦力 ${\vec {f}}$，則所需的功率 $P$ 為 $P={\vec {f}}\cdot {\vec {v}}$。

如果你在一秒內做 $100$ 焦耳的功（使用 $100$ 焦耳的能量），則功率為 $100$ 瓦特。

效率是有用能量與總能量傳遞量的比率。

功-能原理

物體的動能變化等於作用在物體上的淨功。

$W_{net}={\dfrac {1}{2}}mv_{final}^{2}-{\dfrac {1}{2}}mv_{initial}^{2}$

這個事實被稱為功-能原理，通常是解決力學問題的一個非常有用的工具。它可以從能量守恆和功能關係的應用推匯出，所以它不獨立於守恆定律。它實際上是能量守恆的具體應用。然而，有很多力學問題可以透過應用這個原理來有效地解決，因此它作為工作原理值得單獨關注。

對於直線碰撞，淨功等於平均衝擊力乘以衝擊過程中所走的距離。

$W_{net}={\vec {F}}_{avg}\cdot {\vec {s}}.$

${\text{Average impact force}}\cdot {\text{distance traveled}}={\vec {F}}_{avg}\,d={\dfrac {1}{2}}\,m{\vec {v}}^{2}={\text{change in kinetic energy}}$

如果一個運動的物體被碰撞停止，延長停止距離將減小平均衝擊力。

勻速圓周運動 (2.6)

以恆定速度$v$運動的物體，距離中心$R$的向心力定義為

$F=m{\dfrac {v^{2}}{R}}$