中級代數/絕對值不等式

複合不等式

在上一節中，我們處理了只有一個特定約束的不等式——也就是說，只有一個解集。然而，實際情況很可能需要多個約束。例如，計算機制造商希望他們的產品在一定的範圍內銷售，這樣客戶才能繼續購買他們的計算機。

這種情景也可能發生在代數中，可以用複合不等式來表示。一個複合不等式是一個對一個常數、變數或表示式的兩個約束進行陳述的語句。例如，不等式 -4 < x < 3 表示 x 有兩個約束：它必須 (a) 大於 -4 並且 (b) 小於 3。這些複合不等式通常被稱為 "and" 不等式，因為它們要求中心表示式滿足兩個約束。

使用上一課中介紹的繪圖方法，我們可以將 -4 < x < 3 的解集在數軸上表示出來

                                    O--------------------O
                              <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                                -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

請注意，該解集被這兩個值包圍。

另一方面，複合不等式可以有一個或兩個約束。這些不等式被稱為 "or" 不等式——表示式可以滿足兩個條件中的任何一個。例如，如果 x < 3 或 x $\geq$ 7，則 x 等於小於 3 或大於或等於 7 的任何數字。3 到 7 之間的任何數字都不滿足任何一個條件。

在圖形上表示，不等式 x < 3 或 x $\geq$ 7 看起來像這樣

                     <--------------------------------O           *-->
                     <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                       -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6  7

請注意，與上一個例子中的不等式相反，這兩個約束朝相反的方向移動。這是複合不等式的關鍵原則，在繪製解集時應該牢記這一點。

求解複合不等式

因為複合不等式是兩個獨立的約束組合成一個，所以所有操作都必須在不等式的兩側進行。

例 1：求解 x：-7 < 2x + 4 $\leq$ 12。

停一下，假裝上面的語句是兩個獨立的不等式。合乎邏輯的第一步是從兩邊減去 4。然而，由於現在將它們組合成一個，因此我們必須從所有邊減去 4。因此

-7 < 2x + 4 $\leq$ 12

-7 - 4 < 2x + 4 - 4 $\leq$ 12 - 4

-11 < 2x $\leq$ 8

現在將所有邊除以 2。

-11 < 2x $\leq$ 8

${\frac {-11}{2}}<{\frac {2x}{2}}\leq {\frac {8}{2}}$

-5.5 < x $\leq$ 4

例 2：求解 x：-3 > -x + 7 或 2x - 6 $\leq$ -4。

因為兩個不等式是獨立的實體，所以分別求解它們。首先從第一個不等式的兩邊減去 7，從第二個不等式的兩邊加上 6。

               -3 > -x + 7                  or                    2x - 6 $\leq$ -4
    
              -10 > -x                                                2x $\leq$ 2

最後除以相應的係數（-1 和 2）。

              -10 > -x                                              2x $\leq$ 2

                x > 10                      or                       x $\leq$ 1