中級代數/代數公理

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在數學中，你建立了一系列規則和概念來求解方程。大多數情況下，它們是一系列方程，但無論如何，都是應用一些規則來得到結果。在高等數學中，你從解開這些建立起來的規則和概念開始——專注於用已知和可評估的內容重建它們。這就是旅程的開始。

建立公理

當你開始透過其他證明來證明所有東西的任務時，你會遇到一個問題——你不可能在不需要簡單地結束某個地方的情況下證明所有東西。這個基本的起點被稱為什麼？公理。

公理可以被認為是不需要證明的規則。專注於代數，我們可以從這些初始公理開始。請注意，變數$a,b,c$僅僅被視為數字。

加法代數公理列表

結合律	$(a+b)+c=a+(b+c)$
交換律	$a+b=b+a$
單位元律	$a+0=a$
逆元律	$a+(-a)=0$

這些公理假設一些符號代表特定的含義。$0$，雖然它在代數中一直被視為一個數字，但在這裡被視為加法單位元。$-a$同樣，雖然在代數中被視為一個數字的負數，但在這裡被視為$a$的逆元。從某種意義上說，它們被剝奪了我們通常與之相關的含義。

這些公理的另一個方面是：它們彼此協同工作。這應該意味著每個定律彼此之間不矛盾。觀察到，例如，你可以透過使用交換律和結合律來建立一個新的關聯。

${\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\&=a+(c+b)\\&=(a+c)+b\end{aligned}}$

從這裡，你可以開始構建一些可能被認為是基本的代數性質，例如$a+x=a\Rightarrow x=0$——或者說，將某個數字加到任何數字上都不會導致任何變化，這意味著你加的數字必須是0。

${\begin{aligned}a+x&=a\\a+(-a)+x&=a+(-a)\\0+x&=0\\x&=0\end{aligned}}$

這個證明需要所有四個公理。

然而，只有加法的代數會很簡單，所以讓我們為另一個代數運算子新增另一組公理。列表中下一個你可能認為是減法的運算子，因為它們畢竟在代數中是成對出現的。但是，我們可以透過使用沒有新公理的運算來做得更好——畢竟，減法也服從加法的結合律、單位元律和逆元律。如何做到？嘗試一些數字；這留作練習，供你實驗。

關於交換律；好吧，它直觀上是不允許的，對吧？試試一些數字。除非$a=b$，它不會起作用。好吧，這實際上是可以推斷出來的，就像將某個數字加到任何數字上都不會導致任何變化，這意味著你加的數字是 0 一樣。不過，它需要乘法，特別是重新定義乘法的加法法則。

乘法的代數公理列表

結合律	$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
交換律	$a\cdot b=b\cdot a$
單位元律	$a\cdot 1=a$
逆元律	$a\cdot a^{-1}=1$

我們還將新增一個將這兩個公理聯絡在一起的公理。

加法和乘法相關的代數公理列表

分配律	$a\cdot (b+c)=ab+ac$
“等式律”	$0\neq 1$

現在，如何使用乘法和加法來證明減法公理？簡單！在對其周圍新增內容後，對其應用分配性質。

${\begin{aligned}a-b&=b-a\\a-b+a+b&=b-a+a+b\\a+a+b-b&=b+(-a+a)+b\\a+a&=b+b\\a\cdot (1+1)&=b\cdot (1+1)\\a&=b\end{aligned}}$

現在，這裡有一個來自包含乘法的巧妙規則 - 你可以證明負數乘以負數等於正數的對應物。這需要進一步解釋。

首先，我們將證明一個更容易的陳述，${\displaystyle }$

${\begin{aligned}(a+b)+c&=a+(b+c)\\&=a+(c+b)\\&=(a+c)+b\end{aligned}}$