中級代數/線性方程

線性方程

線性方程是在圖上形成一條直線的方程。

斜截式

斜截式的線性方程的形式為 $y=mx+b$，其中 $m$ 是斜率，$b$ 是 y 軸截距。例如，以下方程
$y=3x-1$

已知斜率和一個點，求 y 軸截距

y 軸截距是直線與 y 軸相交的點，或者說 $x=0$ 的點。這非常有用。如果我們知道斜率和直線經過的一個點，就可以找到 y 軸截距。考慮

$y=3x+b$ 經過 $(1,2)$
$2=3(1)+b$ 將 $2$ 和 $1$ 分別代入 $x$ 和 $y$
$2=3+b$ 簡化。
$-1=b$
$y=3x-1$ 代入斜截式。

已知 y 軸截距和一個點，求斜率

直線的斜率定義為直線上兩點之間 x 和 y 的變化量。

如果我們知道直線的 y 軸截距和直線上的一點，我們可以很容易地求出斜率。考慮

$y=mx+4$ 它經過點 $(2,1)$
$y=mx+4$
$1=2m+4$ 用 $1$ 和 $2$ 分別替換 $x$ 和 $y$。 $-3=2m$ 簡化。 $-3/2=m$ $y=-3/2x+4$ 寫成斜截式。

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標準形式

直線的標準形式是線性方程的一種形式，其形式為 $Ax+By=C$，其中 $A$ 和 $B$ 是整數，並且 $A>0$。

從斜截式轉換為標準形式

斜截式方程可以很容易地轉換為標準形式。考慮方程
$y=3x-1$
$-3x+y=-1$ 從等式兩邊減去 -3x，滿足 $Ax+By=C$
$3x-y=1$ 將整個方程乘以 $-1$，滿足 $A>0$
$A$ 和 $B$ 已經是整數，所以我們不用擔心更改它們。

求標準形式方程的斜率

在標準形式的方程中，斜率總是等於 ${\frac {-A}{B}}$