中級代數/求解絕對值方程

絕對值

絕對值 用兩個垂直線 ($\vert$) 表示，在代數中很常見。它們表示數字在數軸上到 0 的距離。如果數字為負數，則它將變為正數。如果數字為正數，則它將保持正數。

$\left\vert 4\right\vert =4\,$
$\left\vert -4\right\vert =4\,$

對於正式定義

如果 $x\geq 0$，則 $\left\vert x\right\vert =x$
如果 $x<0$，則 $\left\vert x\right\vert =-x$

正式定義只是對函式在 $x$ 值的某些限制下所代表內容的宣告。對於任何 $x<0$，函式在 $xy$ 平面上的圖表的輸出是 $y=-x$.

請注意，負數的相反數（負數，-）是正數。例如，$-1$ 的相反數是 $1$.

練習題

對於所有這些問題，a = -2 且 b = 3。計算以下表達式。

1

$|a|=$

2

$|b|=$

3

$|b+a|=$

絕對值方程

現在，假設我們給出了方程 $\left\vert k\right\vert =8$，我們需要求解 $k$。哪個數字能滿足方程 $\left\vert k\right\vert =8$？8 可以，但 -8 也可以。這就是為什麼一個方程可能有兩個解（甚至更多解）。（回答這個問題：為什麼？）

例 1： 解方程 $k$$|2k+6|=8$ 回想絕對值的含義：它表示該數字到起點（零）的距離，無論是左還是右。這意味著無論內部值表示什麼，它必須是 $8$ 或 $-8$。因此， $2k+6=8\quad {\text{OR}}\quad 2k+6=-8$. 剩下的就是解兩個關於 $k$ 的方程 $2k+6=8\qquad 2k+6=-8$ $\Leftrightarrow 2k=2\qquad 2k=-14$ $\Leftrightarrow k=1\qquad k=-7$

解絕對值方程的基本原則是需要將絕對值單獨保留。這對大多數人來說足夠理解，但這種說法對一些學生來說可能有點模糊。因此，這裡可能需要大量的練習題。

例 2： 解方程 $k$$3|2k+6|=12$ 我們將向您展示兩種解此方程的方法。第一種是標準方法，第二種將向您展示一些不可思議的東西。 標準方法：用其逆元乘以常數倍數。 我們需要將兩邊都除以 $3$，以使絕對值單獨保留。我們將使用與第一個示例類似的推理設定兩個不同的方程 $2k+6=4\quad {\text{OR}}\quad 2k+6=-4$. 然後，我們透過從兩邊減去 6 並將兩邊除以 2 來求解，得到$k$ 本身，結果為 $k=-5,-1$。我們將解題部分留給讀者練習。 另一種方法："分配" 3 到絕對值。 請密切注意此處列出的步驟和推理，因為這種方法有效的原因與使用此技巧的人一樣重要，甚至更為重要。首先，讓我們將問題概括一下。假設存在一個正的非零常數倍數$c$ 乘以絕對值方程 $|2k+6|$ $c\cdot |2k+6|=|c|\cdot |2k+6|\quad {\text{OR}}\quad c\cdot |2k+6|=|-c|\cdot |2k+6|$. 假設兩個陳述都為真。如果兩個陳述都為真，那麼您就可以將正常數$c$ 分配到絕對值中。否則，此方法無效！ ${\begin{aligned}|c|\cdot |2k+6|&=|c(2k+6)|&\qquad |-c|\cdot |2k+6|&=|-c(2k+6)|\\&=|2ck+6c|&\qquad &=|-2ck-6c|=|-(2ck+6c)|\\&=|1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}&\qquad &=|-1|\cdot |2ck+6c|={\color {red}1\cdot |2ck+6c|}\end{aligned}}$ 注意這兩個等式都用紅色突出顯示了相同的答案，這意味著只要常數倍數 $c$ 的值是正數，你就可以將 $c$ 分配到絕對值符號內。然而，這種“分配律”需要用到兩個絕對值的乘積等於乘積的絕對值的性質。在人們可以在證明中使用這個性質之前，我們需要先證明它是正確的。對於發現這個錯誤的學生來說，你可能擁有一顆良好的邏輯思維，或者是對細節有很好的觀察力。 證明$|b|\cdot |c|=|bc|$ 我們首先看最簡單的情況：兩個值 $b{\text{ and }}c$ 是常數。我們知道以下性質是正確的 $|-b|=|b|=b$ $|-c|=|c|=c$ 由此，我們可以得出結論，對於任何 $b,c\in \mathbb {R}$，$|b|\cdot |c|=bc$。我們也知道以下結論是正確的 $bc=d<0\Leftrightarrow |d|=-d>0$。這僅僅意味著對於某個乘積 $bc$ 等於一個負數 $d$，它的絕對值是 $-d$，或者說是到零的距離。因為 $d<0$，將兩邊乘以 $-1$ 會將小於號變為大於號，即 $d<0\Leftrightarrow -d>0$. $bc=d=0\Leftrightarrow |d|=d=0$. 如果某個乘積 $bc$ 等於一個數字 $d=0$，那麼它的絕對值是 $0$. $bc=d>0\Leftrightarrow |d|=d>0$. 如果某個乘積 $bc$ 等於一個正數 $d$，那麼該乘積的絕對值是 $d$. 因為我們相乘了兩個絕對值，所以乘積要麼是正數要麼是零。因此，我們可以使用第二個和第三個要點得出結論 $|b|\cdot |c|=bc\geq 0\Leftrightarrow |d|=d=bc=|bc|\geq 0$. 我們可以使用所有五個要點來證明，對於任何常數 $b,c\in \mathbb {R}$， $|b|\cdot |c|=|bc|\blacksquare$。這是最簡單的情況。但是，我們已經證明了最難的情況，其中 $b{\text{ and }}c$ 都是變數。我們擁有的五個要點足以證明這一事實。因此，這個證明將留給讀者作為一項簡單的練習。 透過確認一般情況，當我們再次看到這個技巧時，我們就可以使用它。讓我們將此屬性應用於原始問題（這將給我們下面的綠色結果） $3|2k+6|={\color {green}|6k+18|=12}$ 這都意味著 $6k+18=12\quad {\text{OR}}\quad 6k+18=-12$. 從那裡，簡單的代數運算將表明原始問題的答案再次是 $k=-5,-1$.

讓我們稍微修改一下前面的問題，使常數倍數現在變為負數。在不改變其他內容的情況下，結果會是什麼？讓我們來發現一下。

示例 3： 求解 $k$$-4|2k+6|=8$ 我們將嘗試用兩種不同的方法解決這個問題：標準方法和其他方法，我們將在後面解釋。 標準方法：用其逆元乘以常數倍數。 像上一個問題一樣除以，所以方程看起來像這樣：$|2k+6|=-2$。回想一下絕對值代表什麼：它是該數字到起點（零）左側或右側的距離。有了這個，你注意到任何奇怪的事情嗎？當你計算絕對值時，你總是會得到一個正數，因為距離必須始終是正數。因為這意味著邏輯上不可能的情況，所以沒有實數解。請注意，我們特別提到了“實數”解。這是因為我們確定實數集，$\mathbb {R}$，中不存在解。但是，可能存在一些集合，其中這種型別的方程會有解。由於這種可能性，我們需要在數學上嚴格，並明確說明“沒有實數解”。 其他方法：“分配”常數倍數到絕對值中。 這裡，我們注意到常數倍數 $c<0$。問題是，沒有 $g$ 使得 $|g|<0$。這隻有在 $-|g|<0$ 時才成立，因為 $-|g|<0\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|g|>0$ 有了這個屬性，因此我們只能將常數倍數作為 $|c|$，以及負數 $-1$ 作為絕對值外的因數進行分配。因此， $-4|2k+6|=-|8k+24|=8\qquad {\text{Divide both sides by }}-1$ $|8k+24|=-8$ 另一種方法似乎讓我們將常數與其逆數相乘到兩邊。無論哪種方式，這種“其他方法”仍然給了我們相同的答案：沒有實數解。

這次的問題會略有不同。請牢記我們迄今為止在所有示例中所秉持的原則，並注意問題中的陷阱。

示例 4： 求解 $x$$|3x-3|-3=2x-10$ 我們有許多方法可以嘗試找到這個問題的解。我們將用標準方法來做，並允許任何學生用他們喜歡的方式來做。 $|3x-3|-3=2x-10\qquad {\text{Add the }}3{\text{ to both sides.}}$ $|3x-3|=2x-7$ 由於絕對值是孤立的，我們可以從廣義步驟開始。假設$2x-7>0$，我們可以從表示這兩個方程式開始 (1) $3x-3=2x-7$ (2) $3x-3=-(2x-7)$ 這些方程只有在$2x-7>0$ 時才是正確的。目前，假設該條件成立。讓我們使用每個相應的方程式求解 $x$。 方程式 (1) $3x-3=2x-7\qquad {\text{Add }}3{\text{ and subtract }}2x{\text{ on both sides.}}$ $x=-4$ 方程式 (2) $3x-3=-(2x-7)\qquad {\text{Distribute }}-1{\text{.}}$ $3x-3=-2x+7\qquad \quad {\text{Add }}3{\text{ and add }}2x{\text{ on both sides.}}$ $5x=10\qquad \qquad \qquad \quad {\text{Divide }}5{\text{ on both sides.}}$ $x=2$ 我們有兩個潛在的方程式解。試著根據你對這個問題的瞭解來解釋為什麼我們說“潛在”。 為什麼我們說我們有兩個潛在解？ 因為我們必須假設$2x-7>0$ 且 $|3x-3|=2x-7$ 對給定的 $x$ 成立。 因此，我們必須驗證此方程解的存在。所以讓我們將這些值代入方程式 $|3(-4)-3|=2(-4)-7$。注意，等式右邊是負數。此外，等式左右兩邊並不等價。因此，這不是一個解。 $|3(2)-3|=2(2)-7$。再次注意到，等式右邊是負數。此外，等式左右兩邊並不等價。因此，這不是一個解。 此方程沒有**實數解**。更確切地說，它有兩個**無關解**（即，當我們將它們代回方程時，它們不滿足等式性質）。

儘管從第一個問題開始就遵循了概述的步驟，但你還是得到了兩個無關解。這不是步驟本身的錯誤，而是方程本身的簡單結果。由於等式左邊必須始終為正，因此這意味著等式右邊也必須為正。除這個限制之外，另一個事實是，對於僅給出正值的那些值，兩邊可能不會等於另一邊。所有這些都是函式性質問題。

**示例 5：** 求解 $a$$6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|$ 這裡需要用到所有學過的性質，所以希望你沒有跳過任何內容。如果我們知道即將在這個問題中使用的性質，它一定會讓我們的生活更容易。 $6\left\vert 5{\frac {a}{6}}+{\frac {1}{12}}\right\vert ={\frac {3}{5}}|15a+15|\qquad {\text{Distribute, so to speak, the constant terms.}}$ $\left\vert 5a+{\frac {1}{2}}\right\vert =|9a+9|$ 看第二個等式可能是第一個荒謬的宣告。然而，應用絕對值的根本性質足以解決這個問題。 (3) $5a+{\frac {1}{2}}=|9a+9|$ (4) $5a+{\frac {1}{2}}=-|9a+9|$ 一次剝開一層問題。對於這個問題，我們將根據方程的來源對它們進行分類；這應該可以解釋破折號：例如，3-1 是從 (3) 中得出的第一個公式化的等式。 (3-1) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (3-2) $9a+9=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ (4-1) $-(9a+9)=5a+{\frac {1}{2}}$ (4-2) $-(9a+9)=-\left(5a+{\frac {1}{2}}\right)$ 我們可以證明一些方程是等價的。例如，(3-1) 和 (4-2) 是等價的，因為將 (4-2) 的兩邊除以 $-1$ 得到 (3-1)。在確定所有等價的方程後，將 $-1$ 分配到相應的括號中。 (5) $9a+9=5a+{\frac {1}{2}}$ (6) $9a+9=-5a-{\frac {1}{2}}$ (7) $-9a-9=5a+{\frac {1}{2}}$ 現在剩下要做的就是解方程。我們將這一步留作讀者的練習。您會發現三個可能的解中有兩個是相同的，這意味著有兩個可能的解：$a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}$。剩下要做的就是驗證當檢視這些特定的 $a$ 值時，問題中的方程是否成立。 $a=-{\frac {19}{28}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {19}{28}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {19}{28}}\right)+9\right\vert$ 成立。兩邊得到相同的值：${\frac {81}{8}}=10.125$。 $a=-{\frac {17}{8}}$ $\left\vert 5\left(-{\frac {17}{8}}\right)+{\frac {1}{2}}\right\vert =\left\vert 9\left(-{\frac {17}{8}}\right)+9\right\vert$ 成立。兩邊得到相同的值：${\frac {81}{28}}\approx 2.893$。 因為兩個解都成立，所以這兩個解是 $a=-{\frac {19}{28}},-{\frac {17}{8}}\blacksquare$。

練習題

1 $|k+6|=2k$

$k=$

2 $|7+3a|=11-a$

$a\in \{$ , $\}$

3 $|2k+6|+6=0$

有多少解？

課程回顧

絕對值（用|'s 表示）代表數字在數軸上與 0 的距離。這實際上使負數變為正數，而正數保持不變。要解涉及絕對值的方程，必須將絕對值單獨放在一邊，並將其設定為另一邊正負版本，因為這是絕對值可以輸出的兩種解。但是，要檢查你最後得到的解；有些可能在右邊產生負數，這是不可能的，因為絕對值符號的所有輸出都是正數！

課程測驗

計算每個表示式。

1

$|-4|=$

2

$|6-8|=$

求解 $a$。對於無解的方程，在兩個欄位或右欄位中輸入 NS（大寫）。任何是無關的（代入方程後無效）的解，應該在右欄位或兩個欄位中輸入 XS。將解從最小到最大排序。

3 $|3a-4|=5$

$a\in \{$ $,$ $\}$

4 $5|2a+3|=15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

5 $3|4a-2|-12=-3$

$a\in \{$ $,$ $\}$

6 $|a+1|-18=a-15$

$a\in \{$ $,$ $\}$

7 $2\left\vert {\frac {a}{2}}-1\right\vert -2a=-4a$

$a\in \{$ $,$ $\}$

閱讀以下情況。然後，回答給出的提示或問題。對於沒有解的方程，在兩個欄位或右側欄位中鍵入 NS（大寫）。任何是多餘的解都應在右側欄位或兩個欄位中鍵入 XS。按從小到大的順序排列解。

8 附近河流的水流速度與平均速度$20{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$有$1.5{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$的偏差。用$s$表示河流的速度。選擇所有可能描述這種情況的方程。

	$|s-1.5|=20$
	$|s+1.5|=20$
	$|20-s|=1.5$
	$|s-20|=1.5$
	$|s+20|=1.5$
	$|1.5-s|=20$

9 一條水平人工河的平均速度為$-4{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。速度與阻擋水流路徑的岩石質量$r$（以千克為單位）成正比。假設當天河流的速度最大偏差為$6{\tfrac {\text{m}}{\text{s}}}$。如果比例常數為$k={\frac {2}{5}}$米每千克秒，當天河流中岩石的最大質量是多少？

	$5$ 千克。
	$15$ 千克。
	$25$ 千克。
	$35$ 公斤。