中級代數/不等式求解

不等式

與等式相反，不等式是一個表示式，表明兩個量不相等或不彼此等價。在大多數情況下，我們在現實生活中使用不等式多於使用等式（例如，這件襯衫比那件襯衫貴 2 美元）。

假設 a 和 b 是實數，有四種基本不等式

a < b: a “小於” b; 示例：2 < 4 ; -3 < 0；等等。

a > b: a “大於” b; 示例：-2 > -4 ; 3 > 0 ; 等等。

$a\leq b$: a “小於或等於” b; 示例：如果我們知道 $x\leq 7$ ，那麼我們可以得出結論，x 等於任何小於 7 的值，包括 7 本身。

$a\geq b$: a “大於或等於” b; 示例：相反，如果 $x\geq 7$ ，那麼 x 等於任何大於 7 的值，包括 7 本身。

不等式的性質

正如等式有四種性質一樣，不等式也有四種性質。

不等式的加法性質

如果 a、b 和 c 是實數，使得 a > b，那麼 a + c > b + c。相反，如果 a < b，那麼 a + c < b + c。

不等式的減法性質

如果 a、b 和 c 是實數，使得 a > b，那麼 a - c > b - c。相反，如果 a < b，那麼 a - c < b - c。

不等式的乘法性質

如果 a、b 和 c 是實數，使得 a > b 且 c > 0，那麼 ac（或 a * c）> bc（或 b * c）。相反，如果 a < b 且 c > 0，那麼 ac < bc。（注意，如果 c = 0，那麼不等式的兩邊實際上相等）。我們將在本課後面回顧 c 小於零的情況。

不等式的除法性質

如果 a、b 和 c 是實數，使得 a > b，且 c > 0，那麼 ${\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$ 。在相同條件下，相反，如果 a < b，那麼 ${\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$ 。與乘法性質一樣，c < 0 時會有一些特殊情況，我們將在後面討論。

注意，所有四種性質也適用於 $a\leq b$ 或 $a\geq b$ 的不等式。

三歧性性質

以上陳述構成了三歧性性質的基礎

  Given any two real numbers a and b, then only one of the following statements must hold true:

a < b
a = b
a > b

因此，如果我們給出任何兩個未知實數值，那麼三個陳述中的任何一個都會成立。

解不等式

解代數不等式與解代數方程幾乎完全相同。考慮以下示例

                                 $2x+4\leq 3x-7$

雖然它可能是不等式，但我們可以使用上面列出的不等式性質來求解。首先從兩邊減去 2x 開始

                                 $2x-2x+4\leq 3x-2x-7$ 
                                 $4\leq x-7$

最後在兩邊加上 7。

                                 $4+7\leq x-7+7$  
                                 $11\leq x$

這可以改寫為 $x\geq 11$ 。為了檢查，請代入任何大於或等於 11 的值。但是，為了滿足三歧性性質，我們將代入三個不同的值：10、11 和 12。

$2x+4\leq 3x-7$	$2x+4\leq 3x-7$	$2x+4\leq 3x-7$
$2(10)+4\leq 3(10)-7$	$2(11)+4\leq 3(11)-7$	$2(12)+4\leq 3(12)-7$
$24\leq 23$	$26\leq 26$	$28\leq 29$

十是錯誤的，而十一和十二滿足解。因此，**解集** - 所有滿足原始不等式的答案的集合 - 是 $x\geq 11$ . 用集合符號表示，答案是 { $x|x\geq 11$ }. 這讀作“所有大於或等於 11 的 x 的集合”。

特殊情況 - 分母中的變數

例如，考慮不等式

{\frac {2}{x-1}}<2\,

在這種情況下，不能將等式右側乘以 (x-1)，因為 x 的值未知。由於 x 可能為正或負，無法確定是否將不等號保持為 <，或者將其反轉為 >。解決此類不等式的方法包括四個步驟

找出分母等於 0 的情況。在本例中，當 $x=1$ .
假裝不等號是 = 號，並像這樣求解： ${\frac {2}{x-1}}=2\,$ ，所以 $x=2$ .
在數軸上繪製點 $x=1$ 和 $x=2$ ，用空心圓圈，因為原始等式包含 <（如果原始等式包含 <= 或 >=，則將是實心圓圈）。現在你有三個區域： $x<1$ ， $1<x<2$ ，和 $x>2$ .
獨立測試每個區域。在本例中，透過在該區域中選擇一個點（例如，x=1.5）並將其代入原始不等式中，來測試不等式對於 1<x<2 是否成立。對於 x=1.5，原始不等式不成立。然後嘗試 1>x>2（例如 x=3）。在這種情況下，原始不等式成立，因此原始不等式的解是 1>x>2。

練習題

特殊情況

假設我們要解決以下不等式

                                 $-3x+8\geq 26$

按照上面的步驟，先從兩邊減去8。

                                 $-3x+8-8\geq 26-8$ 
                                 $-3x\geq 18$

現在將兩邊除以-3。

                                 $-3x/-3\geq 18/-3$ 
                                 $x\geq -6$

透過代入三個數字來檢查這個解。我們將使用-7，-6和-5。

$-3x+8\geq 26$	$-3x+8\geq 26$	$-3x+8\geq 26$
$-3(-7)+8\geq 26$	$-3(-6)+8\geq 26$	$-3(-5)+8\geq 26$
$29\geq 26$	$26\geq 26$	$23\geq 26$

等等，發生了什麼？-7和-6滿足不等式，但-7在解集中不包括！而大於-6的-5不滿足不等式！

這是解不等式時的一個特殊情況。由於x項的係數為負數，因此另一邊的常數（26，變為18，然後變為-6）符號改變了。**為了在除以負數時獲得有效解，我們需要**改變符號**以確保解集正確。**因此，** $x\geq -6$ 變為 $x\leq -6$ ，更具體地說，是 { $x|x\leq -6$ }。

練習題

圖形解

由於不等式有多個解，我們需要能夠以圖形方式表示它們。為此，我們使用下面的數軸

                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

有兩種方法可以繪製解的圖形；但是，每種方法根據不等式的性質而不同。例如，如果不等式包含<或>符號，我們使用空心圓圈（“O”）並將它放置在數軸上的相應位置（或上面），然後在解的左側或右側繪製另一條線（根據符號），以指示集合中無限多個解。例如，如果我們要繪製x < 4

                        <-----------------------------O
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

空心圓圈表示4**不包含在解集中**；但是，所有小於4的值都滿足解。

如果不等式包含 $\leq$ 或 $\geq$ ，則在數軸上對應的位置上放置一個實心圓（這裡用 * 表示）。因此，解 $x\geq -2$ 的圖形如下所示。

                                    *----------------------->
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

星號 (*) 表示 -2 **包含在解集中**，大於 -2 的所有值也包含在內。

練習題

在數軸上繪製以下不等式的圖形

1. x > 4

2. $x\leq 1$

3. -1 > x

解答

1.

                                                      O----->
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

2.

                        <--------------------*
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

(注意：您的實際圖形應該用實心圓代替點。如果有疑問，只需畫一個圓並將其塗黑即可。)

3. 在這裡要小心；您需要先重新排列不等式，然後才能繪製圖形。改寫後，不等式變為 x < -1

                        <--------------O
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

課程回顧

不等式是證明兩個量不相等的陳述。不等式有四種情況，其中兩種允許等式 ( $a\leq b$ 和 $a\geq b$ )。不等式的四個性質，或多或少與等式的性質平行，可用於解決簡單的不等式。唯一的例外是在乘法和除法中，如果兩邊都乘以或除以負數，則符號必須反轉。最後，不等式的解集可以用空心圓 ("O") 或實心圓 ("*") 在數軸上繪製，具體取決於使用的原始符號。

課程測驗

1. 什麼是不等式？列出不等式的四種可能情況。

2. 用你自己的話說出三等分性質。

3. 求解下列不等式並繪製所有解的圖形

  a. 4x + 3 > 7                                b.  $2x-4\leq -x+1$ 
  c.  ${\frac {-12c}{3}}\geq -24$       
  d. -x + 4 > 3x

測驗答案

1. 不等式表明兩個量不相等。不等式的四種情況：a < b，a > b， $a\leq b$ ， $a\geq b$ 。

2. 答案因人而異。只要確保您沒有複製貼上實際定義即可。

3a. x > 1

                                             O-------------->
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

3b. $x\leq {\frac {5}{3}}$

                        <----------------------*
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

3c. $x\leq 6$

                     <--------------------------------------*
                     <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--> 
                       -6 -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5  6

3d. x < 1

                        <--------------------O
                        <--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|--|-->
                          -5 -4 -3 -2 -1  0  1  2  3  4  5

	yes
	no

	yes
	no

	yes
	no