化學工程過程導論/示例：帶迴圈的簡單系統

帶迴圈的系統：清潔過程

問題陳述

示例:

考慮一個過程，其中新開採的礦石需要進行清潔，以便後期的加工單元不會被泥土汙染。每小時有 3000 公斤的髒礦石被傾倒進一個大型洗礦機，在洗礦機中，水被允許浸泡礦石，直到礦石流到該單元底部的排水口。在此過程之後，礦石上殘留的泥土量可以忽略不計，但水仍然吸附在礦石表面，因此清洗後的礦石的淨質量流量為每小時 3100 公斤。

髒水在一個沉降器中被淨化，該沉降器能夠去除流中 90% 的泥土，而不會去除大量的水。然後，淨化後的流與新鮮水流混合，然後再進入洗礦機。

溼潤的清潔礦石進入乾燥機，在乾燥機中，所有的水都被去除。乾燥的礦石以每小時 2900 公斤的速度從乾燥機中取出。

該過程的設計示意圖如下

a) 計算在穩態下實現這種去除所需的淡水質量流量。

b) 假設泥土在水中的溶解度為$0.4{\frac {g{\mbox{ dirt}}}{cm^{3}{\mbox{ H}}_{2}O}}$. 假設離開洗礦機的水是泥土飽和的，計算進入洗礦機的流中泥土的質量分數（在與新鮮水流混合之後）。

第一步：繪製流程圖

問題陳述中給出了一個示意圖，但它非常不完整，因為它不包含任何設計規範（沉降器的效率、泥土在水中的溶解度以及質量流量）。因此，強烈建議您即使在提供給您時也繪製自己的圖片。確保您標記所有流和未知濃度。

第二步：自由度分析

• 圍繞洗礦機：6 個獨立未知數 ($x_{O1},{\dot {m}}_{2},x_{D2},{\dot {m}}_{3},x_{D3},x_{O4}$)，三個獨立的質量平衡（礦石、泥土和水）以及一個溶解度。洗礦機具有2 個自由度。
• 圍繞乾燥機：2 個獨立未知數 ($x_{O4},{\dot {m}}_{5}$) 以及兩個獨立的方程 = 0 個自由度。

• 圍繞沉降器：5 個獨立未知數 (${\dot {m}}_{3},x_{D3},{\dot {m}}_{7},{\dot {m}}_{8},x_{D8}$)，兩個質量平衡（泥土和水），飽和泥土的溶解度，以及一個額外的資訊（去除 90% 的泥土），給我們留下了1 個自由度。
• 在混合點：我們需要包括這一點來計算該過程的總自由度，因為否則我們不會在任何地方計算 m9。5 個未知數 (${\dot {m}}_{2},x_{D2},{\dot {m}}_{8},x_{D8},{\dot {m}}_{9}$) 以及 2 個質量平衡，給我們留下了3 個自由度。

因此，總共 = 3+2+1 - 6 箇中間變數（不包括 xO4，因為它進入乾燥機）= 0

問題定義明確。

制定計劃

回想一下，我們的思路是尋找一個具有 0 自由度的單元操作或多個單元操作的組合，計算這些變數，然後重新計算自由度，直到所有變數都被考慮在內。

從我們的初始分析來看，乾燥機有 0 個 DOF，因此我們可以計算出兩個未知數 xO4 和 m5。現在我們可以認為 xO4 和 m5 已知，並對單元操作重新進行自由度分析。

• 在洗滌器周圍：現在我們只有 5 個未知數 ($x_{O1},{\dot {m}}_{2},x_{D2},{\dot {m}}_{3},x_{D3}$)，但仍然只有三個方程式和溶解度。1 DOF。
• 在沉降器周圍：由於 xO4 和 m5 與該操作無關，因此這裡沒有任何變化。
• 整體系統：由於 ${\dot {m}}_{5}$ 已經確定，我們有三個未知數 ($x_{O1},{\dot {m}}_{7},{\dot {m}}_{9}$)，並且我們有三個物料衡算（礦石、泥土和水）。因此，整個系統的 0 DOF。

現在我們可以說我們知道 $x_{O1},{\dot {m}}_{7},$ 和 ${\dot {m}}_{9}$。

• 再次在沉降器周圍：由於我們知道 m7，因此沉降器現在有 0 DOF，我們可以求解 ${\dot {m}}_{3},x_{D3},{\dot {m}}_{8},$ 和 $x_{D8}$。

• 再次在洗滌器周圍：現在我們知道 m8 和 xD8。我們可以寫多少個物料衡算方程式？

因此，洗滌器有兩個未知數 (m2，xD2) 和兩個方程式（泥土和水的物料衡算方程式）= 0 DOF

最後一步也可以透過對混合點的物料衡算方程式來完成（如下所示）。一旦我們獲得 m2 和 xD2，系統就完全確定了。

單位換算

唯一單位不一致的給定資訊是溶解度，它是以 $0.4{\frac {g{\mbox{ dirt}}}{cm^{3}{\mbox{ H}}_{2}O}}$ 給出的。但是，由於我們知道水的密度（或可以查詢），我們可以將它轉換為 ${\frac {kg{\mbox{ dirt}}}{kg{\mbox{ H}}_{2}O}}$，如下所示

$0.4{\frac {g{\mbox{ dirt}}}{cm^{3}{\mbox{ H}}_{2}O}}*1{\frac {cm^{3}{\mbox{ H}}_{2}O}{g{\mbox{ H}}_{2}O}}=0.4{\frac {g{\mbox{ dirt}}}{g{\mbox{ H}}_{2}O}}=0.4{\frac {kg{\mbox{ dirt}}}{kg{\mbox{ H}}_{2}O}}$

現在，由於這些資訊與質量流量的單位相同，我們可以繼續下一步。

執行計劃

首先，對乾燥器進行任何兩個質量平衡。我選擇總量和礦石平衡。請記住，第三個平衡與前兩個不獨立！

• 總量平衡: ${\dot {m}}_{4}={\dot {m}}_{5}+{\dot {m}}_{6}$
• 礦石平衡: ${\dot {m}}_{4}*x_{O4}={\dot {m}}_{5}*x_{O5}+{\dot {m}}_{6}*x_{O6}$

代入已知值

• 總量: $3100={\dot {m}}_{5}+2900$
• 礦石: $x_{O4}*3100=1*2900$

求解得到

${\dot {m}}_{5}=200{\frac {kg}{hr}}$

$x_{O4}=0.935{\frac {kg}{hr}}$

現在我們已經完成了乾燥器，我們執行計劃中的下一步，即總系統平衡

• 水平衡: ${\dot {m}}_{9}={\dot {m}}_{5}$
• 礦石平衡: $x_{O1}*{\dot {m}}_{1}={\dot {m}}_{6}$
• 泥土平衡: $(1-x_{O1})*{\dot {m}}_{1}={\dot {m}}_{7}$

${\dot {m}}_{9}=200{\frac {kg}{hr}}$, $x_{O1}=0.967$,

${\dot {m}}_{7}=100{\frac {kg}{hr}}$

接下來我們按照計劃進入沉降器，這個有點棘手，因為解決方案並不立即顯而易見，但必須解一個系統。

• **總平衡**: ${\dot {m}}_{3}={\dot {m}}_{7}+{\dot {m}}_{8}$
• **泥土平衡**: ${\dot {m}}_{3}*x_{D3}={\dot {m}}_{7}*x_{D7}+{\dot {m}}_{8}*x_{D8}$
• **去除效率**: ${\dot {m}}_{7}=0.9*{\dot {m}}_{3}*x_{D3}$

使用溶解度稍微棘手。您可以透過注意到流3 中的泥土質量與水的質量成正比來使用它，因此您可以寫成

• 流3 中的泥土質量 = 流3 中的水質量 * 0.4
• **溶解度**: ${\dot {m}}_{3}*x_{D3}=0.4*{\dot {m}}_{3}*(1-x_{D3})$

代入已知值，得到以下方程組

• ${\dot {m}}_{3}=100+{\dot {m}}_{8}$
• ${\dot {m}}_{3}*x_{D3}=100+{\dot {m}}_{8}*x_{D8}$
• ${\dot {m}}_{3}*x_{D3}=111.11$
• ${\dot {m}}_{3}*x_{D3}=0.4*{\dot {m}}_{3}*(1-x_{D3})$

求解這四個未知數的方程，解為

${\dot {m}}_{3}=388.89{\frac {kg}{hr}},{\dot {m}}_{8}=288.89{\frac {kg}{hr}},$

$x_{D3}=0.286,x_{D8}=0.0385$

最後，我們可以轉到混合點，並說

• 總計: ${\dot {m}}_{8}+{\dot {m}}_{9}={\dot {m}}_{2}$
• 泥土: ${\dot {m}}_{8}*x_{D8}={\dot {m}}_{2}*x_{D2}$

由此得出最終的未知數

${\dot {m}}_{2}=488.89{\frac {kg}{hr}}$

$x_{D2}=0.0229$

由於問題要求 ${\dot {m}}_{2}$，我們現在已經完成了。

檢查你的工作

這些值應該透過使用數值繪製一個新的流程圖並確保洗滌器上的平衡滿足來進行檢查。留作讀者的練習。