化工過程導論/多組分多過程

多組分多過程問題求解導論

在絕大多數化工過程中，一些原材料經過加工得到所需終端產品或一組終端產品，系統中將會有不止一種原料進入，並且產品必須經過多個單元操作才能達到預期結果。可以預見，此類過程的計算比單組分或單操作過程的計算要複雜得多。因此，已經開發了幾種技術來幫助工程師進行分析。本節將介紹這些技術以及如何將它們應用於示例問題。

自由度分析

對於比已經探討過的單組分或單操作問題更復雜的問題，您必須有一種方法來確定在給定您所擁有的資訊的情況下，問題是否可以解決。有三種方法可以根據其可解性來描述問題。

1. 如果問題有一組有限的（不一定唯一！）解，那麼它被稱為定義明確。
2. 問題可能是過度確定（也稱為過度指定），這意味著您擁有過多的資訊，這些資訊要麼是多餘的，要麼是不一致的。這可以透過將多個數據合併成單個函式或在極端情況下合併成單個值（例如線性相關性的斜率）來解決，或者可以透過刪除人們對系統所做的假設來解決。
3. 問題可能是欠定（或欠指定），這意味著您沒有足夠的資訊來求解所有未知數。有幾種方法可以解決這個問題。最明顯的方法是收集更多資訊，例如測量更多溫度、流速等，直到您得到一個定義明確的問題。另一種方法是使用關於我們想要從過程中得到什麼的資訊的額外方程或資訊，例如我們在反應中獲得了多少轉化率，分離過程的效率如何等等。最後，我們可以做出假設來簡化方程，也許它們會簡化到足以使其變得可解。

分析系統以檢視它們是過度指定、欠指定還是定義明確的方法稱為自由度分析。它對單個過程的質量平衡有效。

1. 從流程圖中確定過程中未知數的數量。什麼構成未知數取決於您要找什麼，但在物料平衡計算中，質量和濃度是最常見的。在平衡和能量平衡計算中，溫度和壓力也成為重要的未知數。在反應器中，您應該將轉化率作為未知數，除非它已知，或者您正在進行原子平衡。
2. 減去您可以對過程編寫的方程的數量。這可以包括質量平衡、能量平衡、平衡關係、濃度之間的關係以及從有關過程的額外資訊中得出的任何方程。
3. 您剩下的數字是過程的自由度。

如果自由度為負，則意味著單元操作過度指定。如果它是正的，則操作欠指定。如果它是零，則單元操作是定義明確的，這意味著理論上可以用一組有限的解來求解未知數。

多過程系統中的自由度

多過程系統更難，但並非不可行。以下是如何分析它們以檢視問題是否具有唯一解

1. 使用所有相關的未知數完整地標記流程圖。
2. 如上所述，對每個單元操作執行自由度分析。
3. 將每個操作的自由度加起來。
4. 減去中間流中變數的數量，即兩個單元操作之間的流。這是因為它們中的每一個都被計算了兩次，一次是離開操作，一次是進入操作。

您剩下的數字是過程自由度，它將告訴您整個過程是過度指定、欠指定還是定義明確的。

使用自由度制定計劃

一旦您確定問題是可解的，您仍然需要弄清楚如何求解變數。這是建議的方法。

1. 找到一個單元操作或單元操作組合，其自由度為零。
2. 計算該組合中涉及的所有未知數。
3. 重新計算每個過程的自由度，將計算出的值視為已知值，而不是變數。
4. 重複這些步驟，直到所有內容都計算出來（或至少計算出您要找的內容）。

多組分多過程：橙汁生產

示例:

考慮一個將生橙子加工成橙汁的過程。可能的工藝描述如下。

1. 橙子進入破碎機，在破碎機中，橙子中包含的所有水都會被釋放出來。
2. 然後將破碎的橙子送入過濾器。過濾器能夠捕獲 90% 的固體，其餘部分與橙汁一起作為果肉排出。

橙汁流的速度被測量為 $30{\frac {m}{s}}$，管道半徑為 8 英寸。計算

a) 橙汁產品的質量流量。b) 如果該過程每天執行 8 小時，每年執行 360 天，每年可以加工多少個橙子。忽略啟動時由於非穩態造成的變化。

使用以下資料：橙子的質量：0.4 千克 橙子的含水量：80% 固體的密度：由於它主要是糖，因此大約是葡萄糖的密度，即 $1.540{\frac {g}{cm^{3}}}$

步驟 1：繪製流程圖

這次我們有多個過程，因此對每個過程進行標記尤為重要，就像在題目中給出的那樣。

請注意，我將 90% 的固體捕獲率轉變為一個代數方程，該方程將固體廢物中的固體質量與進料中的固體質量聯絡起來。這在後面會很重要，因為 _這是解決問題所需的額外資訊_。

還要注意，從這裡開始，"固體" 指代 S，"水" 指代 W。

步驟 2：自由度分析

回想一下，對於每個物流，有 C 個獨立的未知數，其中 C 是單個物流中組分的數量。這些通常是 C-1 種物質的 _濃度_ 和 _總質量流率_，因為有了 C-1 種物質的濃度，我們可以找到最後一種物質的濃度，但我們無法僅透過濃度獲得總質量流率。

讓我們將之前描述的演算法應用於確定問題是否定義良好。

在過濾器上:

• 有 _6_ 個未知數：m2、xS2、m3、xS3、m4 和 xS4
• 我們可以對整個系統寫出 _2_ 個獨立的物料衡算（每個組分一個）。
• 我們給出了一個轉化率，以及足夠的資訊來根據單個組分的濃度來寫出產品中的質量流率（從而消除了一個未知數）。因此，我們有 _2_ 個額外的資訊。
• 因此，過濾器的自由度為 6-2-2 = _2 DOF_

在破碎機上:

• 有 _3_ 個未知數（m1、m2 和 xS2）。
• 我們可以寫出 _2_ 個獨立的物料衡算。
• 因此，破碎機有 3-2 = _1 DOF_

因此，對於 _整個系統_

• 單元操作的 DOF 之和 = 2 + 1 = 3 DOF
• 中間變數的數量 = 2（m2 和 xS2）
• 總 DOF = 3 - 2 = _1 DOF_。

因此，該問題 _欠指定_。

那麼我們如何解決它呢？

為了解決欠指定的問題，我們可以獲得額外規格的一種方法是 _做出假設_。我們能夠做出哪些假設來減少未知數的數量（或者等效地，增加我們知道的變數的數量）？

最常見的假設型別是假設相對不重要的東西為零。.

在這種情況下，我們可以問：過濾器中出來的固體物流會包含任何水嗎？當然，它可能會，但這個量與捕獲的固體量和過濾的固體量相比可能非常小，前提是它定期清潔並設計良好。如果我們做出這個假設，那麼 _這指定了廢物流中水的質量分數為零_（或者等效地，固體的質量分數為一）。因此，我們知道一個額外的資訊，並且整個系統的自由度變為零。

步驟 3：轉換單位

此步驟應在 _自由度分析_ 之後進行，因為該分析與您的單位系統無關，如果您沒有足夠的資訊來解決問題（或者更糟的是，您有太多資訊），那麼您不應該浪費時間轉換單位，而應該將您的時間花在更精確地定義問題和/或尋找適當的假設上。

這裡，最明智的選擇是將所有內容轉換為 cgs 系統或 m-kg-s 系統，因為大多數值已經是公制單位。這裡，採用後者。

$r_{4}=8{\mbox{ in}}*{\frac {2.54{\mbox{ cm}}}{in}}*{\frac {1{\mbox{ m}}}{100{\mbox{ cm}}}}=0.2032{\mbox{ m}}$

${\rho }_{S}=1.54{\frac {g}{cm^{3}}}=1540{\frac {kg}{m^{3}}}$

現在所有內容都處於同一個系統中，我們可以繼續下一步。

步驟 4：關聯您的變數

首先，我們必須將給出的速度和麵積與物流 4 的質量流率相關聯，以便我們可以在物料衡算中實際使用該資訊。從第 2 章，我們可以從以下公式開始

${\rho }_{n}*v_{n}*A_{n}={\dot {m}}_{n}$

由於管道是圓形的，圓形的面積為 $\pi *r^{2}$，我們有

$A_{4}=\pi *0.2032^{2}=0.1297{\mbox{ m}}^{2}$

因此，我們有

${\rho }_{4}*30*0.1297=3.8915*{\rho }_{4}={\dot {m}}_{4}$

現在，要找到流4的密度，我們假設體積是可加的，因為固體和水基本上是不可混溶的（橘子洗的時候會溶解嗎？）。因此，我們可以使用理想流體模型來計算密度

${\frac {1}{\rho _{4}}}={\frac {x_{S4}}{\rho _{S}}}+{\frac {x_{W4}}{\rho _{W}}}={\frac {x_{S4}}{\rho _{S}}}+{\frac {1-x_{S4}}{\rho _{W}}}$

$={\frac {x_{S4}}{1540}}+{\frac {1-x_{S4}}{1000}}$

因此，我們得到了一個只包含濃度和質量流量的方程

方程1： ${\frac {x_{S4}}{1540}}+{\frac {1-x_{S4}}{1000}}={\frac {3.8915}{{\dot {m}}_{4}}}$

現在我們有了一個方程，但我們還沒有用到兩個（為什麼是兩個？）獨立的質量平衡。當然，我們可以選擇用哪兩個。

在這個特定問題中，由於我們直接獲得了關於流4（產物流）中固體數量的資訊，所以對該組分進行平衡似乎更有意義。由於我們沒有關於流2的資訊，而且在這個情況下找到它毫無意義（它的所有部分都與流1相同），因此讓我們對固體進行整體系統平衡

$\Sigma {\dot {m}}_{S,in}-\Sigma {\dot {m}}_{S,out}=0$

根據質量分數展開質量平衡

${\dot {m}}_{1}*x_{S1}={\dot {m}}_{3}*x_{S3}+{\dot {m}}_{4}*x_{S4}$

代入已知值，假設流3是純固體（沒有水），因此 $x_{S3}=1$

**方程式 2：** $0.2*{\dot {m}}_{1}=(0.9*0.2*{\dot {m}}_{1})*1+x_{S4}*{\dot {m}}_{4}$

最後，我們可以利用一個額外的質量平衡，我們選擇最簡單的：總質量平衡。這個方程式同樣假設流出物 3 的總流量等於固體流量。

**方程式 3：** ${\dot {m}}_{1}=0.9*0.2*{\dot {m}}_{1}+{\dot {m}}_{4}$

現在我們有三個方程式，三個未知數 $({\dot {m}}_{1},{\dot {m}}_{4},x_{S4})$，因此問題可解。這裡就需要用到之前學過的系統求解技巧。

如果你不喜歡手工解題，市面上有很多計算機程式可以幫助你解決這類方程式，例如 MATLAB、POLYMATH 等等。你可能需要學習你學校推薦使用的程式，為什麼不現在就開始呢？

無論使用哪種方法，結果都是

${\dot {m}}_{1}=4786{\frac {kg}{s}}$

${\dot {m}}_{4}=3925.07$

$x_{S4}=0.0244$

我們快完成了，現在只需要計算一下每年的橙子數量。

$4786{\frac {kg}{s}}*1{\frac {orange}{0.4{\mbox{ kg}}}}*3600{\frac {s}{hr}}*8{\frac {wk{\mbox{ hr}}}{day}}*360{\frac {\mbox{wk day}}{year}}$

年產量：$1.24*10^{11}{\frac {oranges}{year}}$