化學工程過程導論/多組分問題求解

多組分操作的一般策略

關於進行多組分質量平衡最重要的一點是，對於每個組分，您可以編寫一個獨立的質量平衡方程。我所說的獨立是什麼意思？好吧，請記住，我們可以為任何穩態系統編寫一般的整體質量平衡方程

$\Sigma {\dot {m}}_{in}-\Sigma {\dot {m}}_{out}=0$

我們還可以為流中的任何組分編寫類似的質量平衡方程

$\Sigma {\dot {m}}_{a,in}-\Sigma {\dot {m}}_{a,out}+m_{a,gen}=0$

這看起來我們這裡有三個方程，但實際上只有兩個是獨立的，因為

組分的質量總和等於總質量
由於反應引起的總質量生成始終為零（根據質量守恆定律）

因此，如果我們將所有組分的質量平衡加起來，我們將得到整體質量平衡。因此，我們可以選擇我們想要的任何一組 n 個方程，其中 n 是組分的數量，但如果我們選擇整體質量平衡作為其中之一，我們就不能使用其中一個組分的質量平衡。

使用哪些平衡取決於兩個特定標準

您擁有關於哪個組分的資訊最多；如果您沒有足夠的資訊，您將無法解決您編寫的方程。
您可以對哪個組分做出最合理的假設。例如，如果您有一個在低溫和低壓下涉及氧氣和水的過程，您可以說液體流中沒有溶解氧，因此它都透過另一條路徑離開。如果您針對該組分編寫質量平衡，這將大大簡化代數運算。

單一操作中的多組分：乙醇和水的分離

示例:

假設包含乙醇和水（兩種完全互溶的化合物）的物流以 100 kg/s 的速率流入蒸餾塔。有兩股物流離開塔：蒸汽物流中乙醇的質量分數為 80%，塔底液物流中乙醇的濃度為 4M。總液物流流量為 20 kg/s。計算入口物流的組成。

按照分步方法可以使事情變得更容易。

步驟1：繪製流程圖

第一步始終是繪製流程圖，如前所述。如果您對該系統執行此操作，您可能會得到如下所示的結果，其中 x 表示質量分數，[A] 表示 A 的摩爾濃度，數字表示物流編號。

步驟2：單位換算

現在，我們需要將濃度轉換為合適的單位。由於總流量以質量表示，因此以組分質量表示濃度的單位將最有用。蒸汽物流組成以質量百分比給出，這與流量單位配合良好。但是，以摩爾濃度給出的液相濃度對於求解乙醇（或水）的質量流量沒有用。因此，我們必須將濃度轉換為更有用的東西。

注意
濃度測量之間的轉換

在濃度之間轉換最簡單的方法是仔細檢視您想要和擁有的單位，並詢問可以使用哪些物理性質（即摩爾質量、密度）來進行互換。在本例中，我們希望將摩爾濃度轉換為質量分數。根據定義，我們有

$[A]={\frac {mol_{A}}{L_{sln}}}$

$x_{A}={\frac {m_{A}}{m_{sln}}}$

要轉換分子，我們需要將 A 的摩爾數轉換為 A 的質量，因此我們可以為此目的使用摩爾質量。類似地，要轉換分母，我們需要將升轉換為質量，這意味著我們將使用密度。因此，從摩爾濃度到質量分數的轉換是

$x_{A}=[A]*{\frac {(MW)_{A}}{{\rho }_{SLN}}}$

由於我們有方法估計 ${\rho }_{SLN}$ （還記得它們嗎？），我們可以相互轉換這些濃度。

為了將摩爾濃度轉換為質量分數，我們需要乙醇的分子量和4M乙醇溶液的密度。如果你知道乙醇的化學式，前者很容易計算： $CH_{3}CH_{2}OH$ 。根據化學課上學習的方法計算分子量，你應該得到大約 $46{\frac {g}{mol}}$ 。

計算密度本身就涉及到代入質量分數，所以你最終會得到一個隱式方程。回想一下，估計溶液密度的一種方法是假設溶液是理想的（在這種情況下它可能不是理想的，但如果沒有資料可用或者我們只需要一個估計值，那麼像這樣的假設是我們僅有的選擇，只要我們意識到這些值不會完全準確）。

${\frac {1}{{\rho }_{SLN}}}=\Sigma ({\frac {x_{k}}{{\rho }_{k}}})$

在這種情況下，則

${\frac {1}{{\rho }_{SLN}}}={\frac {x_{EtOH}}{{\rho }_{EtOH}}}+{\frac {x_{H2O}}{{\rho }_{H2O}}}$

我們可以查閱純水和純乙醇的密度，如下所示（來自維基百科的條目w:Ethanol和w:Water）

${\rho }_{EtOH}=0.789{\frac {g}{cm^{3}}}=789{\frac {g}{L}}$

${\rho }_{H2O}=1.00{\frac {g}{cm^{3}}}=1000{\frac {g}{L}}$

因此，由於質量分數之和為1，我們關於密度的方程變為

${\frac {1}{{\rho }_{sln}}}={\frac {x_{EtOH}}{789{\frac {g}{L}}}}+{\frac {1-x_{EtOH}}{1000{\frac {g}{L}}}}$

根據上面的註釋，我們現在終於可以將摩爾濃度轉換為質量分數，如下所示

$x_{EtOH}=[EtOH]*{\frac {(MW)_{EtOH}}{{\rho }_{SLN}}}=4{\frac {mol}{L}}*46{\frac {g}{mol}}*({\frac {x_{EtOH}}{789{\frac {g}{L}}}}+{\frac {1-x_{EtOH}}{1000{\frac {g}{L}}}})$

求解該方程得到

$x_{EtOH}=0.194$ （無量綱）

步驟 3：關聯變數

由於我們正在尋找與質量流量相關的性質，因此我們需要用質量平衡來關聯我們的變數。

請記住，我們可以對任何 N 個獨立組分進行質量平衡，以及對總質量進行一個質量平衡，但由於各個組分的質量之和等於總質量，因此只有 $N-1$ 個這些方程是獨立的。在數學上，選擇總質量平衡和 $N-1$ 個單獨的組分平衡通常是最簡單的，因為您不需要處理總測量值的濃度。

由於我們的濃度現在處於適當的單位，因此我們可以進行任何兩個質量平衡。讓我們首先選擇總質量平衡

${\dot {m}}_{1}-{\dot {m}}_{2}-{\dot {m}}_{3}=0$

代入已知值

${\dot {m}}_{2}=100{\frac {kg}{s}}-20{\frac {kg}{s}}$

${\dot {m}}_{2}=80{\frac {kg}{s}}$

現在我們知道了 ${\dot {m}}_{2}$ ，我們可以對乙醇或水進行質量平衡以找到進料流的組成。讓我們選擇乙醇（A）

${\dot {m}}_{A1}={\dot {m}}_{A2}+{\dot {m}}_{A3}$

用質量分數表示，則變為

$x_{A1}*{\dot {m}}_{1}=x_{A2}*{\dot {m}}_{2}+x_{A3}*{\dot {m}}_{3}$

代入我們已知的資訊

$x_{A1}*100{\frac {kg}{s}}=0.8*80{\frac {kg}{s}}+0.194*20{\frac {kg}{s}}$

$x_{A1}=0.68$

因此，進料為 68% 乙醇和 32% 水。