化學工程過程導論/穩態能量平衡

一般平衡方程回顧

回顧一下為任何系統屬性推導的一般平衡方程

$In-Out+Generation-Consumption=Accumulation$

當我們推匯出質量平衡時，我們是透過引用質量守恆定律來實現的，該定律指出質量的總生成量為 0，因此 $Accumulation=In-Out$ .

還有一個主要的守恆定律，它提供了一個額外的方程，我們可以使用：能量守恆定律。它指出，如果 E 表示系統中的全部能量，

能量守恆定律

$E_{in}-E_{out}=E_{accumulated}$

能量型別

為了寫能量平衡，我們需要知道哪些型別的能量可以進入或離開系統。以下是一些例子（絕不是詳盡無遺的列表），它們列舉了可以獲得或損失的能量型別。

如果我們分析的是一個運動的系統，系統可能獲得或失去動能。
同樣，如果系統在運動，可能會發生勢能變化。
熱量可以透過傳導、對流或輻射進入系統。
功（膨脹功或軸功）可以在系統上完成，也可以由系統完成。

進入系統的總能量是進入系統的所有不同型別的能量的總和。以下是不同型別能量的表示式

從物理學中，我們知道 $KE={\frac {1}{2}}mv^{2}$ . 如果系統本身沒有運動，它就是零。
系統的重力勢能為 $GPE=mgh$ 其中 g 是重力常數，m 是以 kg 為單位的質量，h 是系統質心的高度。如果系統的高度沒有變化，GPE 就不會發生變化。
進入系統的熱量用 Q 表示，無論其進入的機制是什麼（計算它的方法將在傳輸現象課程中討論）。根據本書的約定，進入系統的熱量為正，離開系統的熱量為負，因為系統在熱量進入時實際上獲得了能量。
系統完成的功或作用於系統的功用 W 表示。系統完成的功為負，因為系統必須“放棄”能量來完成作用於周圍環境的功。例如，如果系統膨脹，它會損失能量來彌補膨脹。相反，作用於系統的功為正。

由於質量流而產生的能量流

在穩態下，任何事物的積累都為 0，能量也不例外。如果，正如我們一直以來的假設，我們假設系統處於穩態，那麼我們將獲得能量平衡方程

$E_{in}=E_{out}$

這是所有下面能量平衡的起點。

考慮一個系統，其中一個質量（如水）流入一個系統（如杯子），如下所示

流入（或流出）系統的質量流攜帶一定量的能量，這些能量與它的運動速度（動能）、它離地面的高度（勢能）和它的溫度（內能）有關。它也可能具有其他型別的能量，但現在讓我們假設這三種能量是唯一重要的。如果這是真的，那麼我們可以說在流動本身中攜帶的總能量為

${\dot {E}}_{i}=({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {U}})_{i}$

但是，還有一個因素必須考慮。當質量流進入系統時，它會膨脹或收縮，因此對系統完成功。膨脹產生的功的表示式為

$W_{exp}=P*{\dot {V}}_{i}$

由於這項工作是作用於系統的，它作為正量進入能量平衡。因此，由於質量流而流入系統的總能量流如下

${\dot {E}}_{i}=({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {U}})_{i}+P*{\dot {V}}_{i}$

為了簡化數學，我們通常不使用內能和 PV 項。相反，我們將這些項合併在一起，並將結果稱為流體的焓。焓僅僅是內能和由於流體流動而產生的膨脹功的組合，用字母 H 表示。

焓的定義

$H=U+PV$

因此，我們得到了以下關於質量傳遞能量的重要的方程式

在流體 i 中，如果只考慮動能、勢能、內能和膨脹功，

質量流體攜帶的能量為
${\dot {E}}_{i}=({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i}$

注意
動能和勢能通常遠小於焓，除非在非常快速流動的情況下，或者系統中沒有發生明顯的溫度變化。因此，在進行能量平衡時，它們經常被忽略。

系統進出能量的其他形式

系統進出可能發生的能量形式還有熱和功。熱被定義為由於溫度變化而產生的能量流動，它總是從高溫流向低溫。功被定義為由力傳遞的能量（詳細內容請參見這裡）。

如果系統沒有熱量進出，它被稱為絕熱。
如果系統沒有連線任何機械部件，並且系統無法膨脹，那麼功本質上為 0。

一些具有機械部件執行功的系統包括渦輪機、混合器、發動機、攪拌釜反應器、攪拌器等等。這些部件執行的功被稱為軸功，以將其與由於系統本身膨脹而產生的功（稱為膨脹功）區分開來。

“絕熱系統”通常被解釋為本質上是絕熱的，但這項假設的可靠性取決於絕緣質量。一個無法膨脹的系統有時被稱為“剛性”系統。

這些值的符號如下

熱量流動： ${\dot {Q}}_{j}$ ，在第“j”個位置。
軸功： ${\dot {W}}_{s}$
膨脹功： $P*{\frac {\Delta {V}}{\Delta {t}}}$

請注意，以上表明在穩態下沒有膨脹功，因為在穩態下系統中的任何內容，包括體積，都不會隨時間變化，即 ${\frac {\Delta {V}}{\Delta {t}}}=0{\mbox{ at steady state}}$ .

整體穩態能量平衡

如果我們將所有這些成分結合在一起，記住流入系統的熱量和對系統做的功是正的，我們得到以下內容

開放系統穩態能量平衡

$\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,in}-\Sigma ({\frac {1}{2}}{\dot {m}}v^{2}+{\dot {m}}gh+{\dot {H}})_{i,out}+\Sigma {\dot {Q}}_{j}+{\dot {W}}_{s}=0$

一些重要要點

如果系統是 **封閉且處於穩定狀態**，這意味著總熱流必須在數量上等於總功，並在符號上相反。然而，根據熱力學的另一條定律，即第二定律，即使在最理想的情況下，也不可能將所有熱流轉化為功。
在一個沒有功做的絕熱系統中，質量流所攜帶的總能量在流入和流出的質量流之間是相等的。然而，這 **並不意味著溫度保持不變**，正如我們將在下一節中看到的那樣。有些物質比其他物質具有更大的儲熱能力，因此有了 **熱容量** 這個術語。
如果系統 **內部的條件** 隨時間變化，那麼我們就 **不能使用這種形式的能量平衡**。下一節將介紹在系統能量學發生變化的情況下該如何做。