數學物理導論/連續近似/守恆定律

守恆定律的積分形式

守恆定律\index{守恆定律} 是一個平衡，它可以應用於所考慮系統內所有嚴格內部的連通域，並且在運動過程中遵循。這樣的定律可以寫成：

eqcon

${\frac {d}{dt}}\int _{D}A_{i}dv+\int _{\partial D}\alpha _{ij}n_{j}d\sigma =\int _{D}a_{i}dv$

符號 ${\frac {d}{dt}}$ 表示特定導數（參見附錄 chapretour）。$A_{i}$ 是標量或張量\footnote{ $A_{i}$ 是數量 ${\mathcal {A}}$（質量、動量、能量...）的體積密度。下標 $i$ 符號設計所考慮張量的所有下標。} 尤拉變數 $x$ 和 $t$ 的函式。 $a_{i}$ 是系統外部提供的體積密度速率。 $\alpha _{ij}$ 是系統透過邊界表面 $D$ 損失的表面密度速率。

守恆定律的區域性形式

方程 eqcon 表示守恆定律的積分形式。與這種積分形式相關聯的是現在要介紹的區域性形式。如附錄 chapretour 中所述，我們有以下關係

${\frac {d}{dt}}\int _{D}A_{i}dv=\int _{D}{\frac {d}{dt}}A_{i}dv$

眾所周知

${\frac {dA_{i}}{dt}}={\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+(A_{i}u_{j})_{,j}$

格林公式允許將表面積分轉換為體積分

$\int _{\partial D}\alpha _{ij}n_{j}d\sigma =\int _{D}\alpha _{ij,j}dv$

因此最終方程式為

${\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}+(A_{i}u_{j}+\alpha _{ij})_{,j}=a_{i}$

現在讓我們介紹各種守恆定律。