數學物理導論/連續近似/能量守恆和熱力學第一定律

第一定律的陳述

能量守恆定律對應於熱力學第一定律（[#References|參考文獻]）。\index{熱力學第一定律}

定義

設 $S$ 是一個在 $R_{0}$ 中鬆弛的宏觀系統。內能 $U$ 是所有粒子動能 $E_{cm}$ 和它們總的相互作用勢能 $E_{p}$ 的總和。

$U=E_{cm}+E_{p}$

定義

設一個相對於 $R$ 運動的宏觀系統。它具有宏觀動能 $E_{c}$。總能量 $E_{tot}$ 是動能 $E_{c}$ 和內能 $U$ 的總和。\index{內能}

$E_{tot}=E_{c}+U$

原理

內能 $U$ 是一個狀態函式\footnote{ 也就是說，基本變化 $dU$ 是一個全微分。 } 。總能量 $E_{tot}$ 只能透過與外部的交換而變化。

原理

在每個時刻，總能量 $E_{tot}$ 的偏導數（參見示例 exmppartder）是外部應變功率 $P_{e}$ 和系統接收的熱量 ${\dot {Q}}$ \index{熱量} 的總和。

${\frac {dE_{tot}}{dt}}=P_{e}+{\dot {Q}}$

這意味著

定理

對於一個封閉系統，$dE_{tot}=\delta W_{e}+\delta Q$

定理

如果宏觀動能為零，那麼

$dU=\delta W+\delta Q$

備註

能量守恆也可以透過對弗拉索夫方程取三階矩來獲得（參見方程 eqvlasov）。

第一性原理的推論

事實上，$U$ 是一個狀態函式意味著

• $U$ 的變化不依賴於所遵循的路徑，也就是說，$U$ 的變化只依賴於初始狀態和最終狀態。
• $dU$ 是一個全微分，可以應用施瓦茨定理。如果 $U$ 是兩個變數 $x$ 和 $y$ 的函式，那麼

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x\partial y}}={\frac {\partial ^{2}U}{\partial y\partial x}}$

讓我們精確地說明動力學和熱力學第一定律之間的關係。從動能定理

${\frac {dE_{c}}{dt}}=P_{e}+P_{i}$

因此，能量守恆也可以寫成：

eint

${\frac {dU}{dt}}={\dot {Q}}-P_{i}$

系統建模包括評估 $E_{c}$，$P_{e}$ 和 $P_{i}$。功率 $P_{i}$ 透過關係 eint 與 $U$ 建模相關。