數學物理導論/連續逼近/習題

習題

考慮速度梯度（一階梯度理論）的影響，給出描述薄板（厚度可忽略不計）動力學的方程。將結果與從守恆定律推匯出的方法進行比較。

習題

與上一題相同的問題，但物件是一個固定在兩面牆之間的繩子。

習題：

exoplasmapert

等離子體\index{plasma} 是由帶電粒子（電子和離子）組成的。一個經典的等離子體模型是“雙流體模型”：系統由兩組函式描述，分別對應電子和離子，這些函式包括密度、速度和壓強：集合 $n_{e},v_{e},p_{e}$ 描述了電子，集合 $n_{i},v_{i},p_{i}$ 描述了離子。電子的動量守恆方程為：

me

$n_{e}m_{e}({\frac {\partial v_{e}}{\partial t}}+({v}_{e}.\nabla v_{e}))=en_{e}\nabla \phi -en_{e}v_{e}\wedge B-\nabla p_{e}$

離子的動量守恆方程為：

mi

$n_{i}m_{i}({\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+({v}_{i}.\nabla v_{i}))=-en_{i}\nabla \phi +en_{i}v_{i}\wedge B-\nabla p_{i}.$

求解這個非線性問題（找到解 $n_{i}({\vec {r}},t)$）假設

• $B$ 場沿著 $z$ 方向，因此定義了平行方向和垂直方向（垂直於 $B$ 場的平面）。
• 速度可以寫成 $v_{a}={\tilde {v}}_{a}+v_{a}^{0}$，其中 $v_{i}^{0}=0$ 且 $v_{e}^{0}=-{\frac {k_{B}T_{e}\nabla _{x}n^{0}}{eBn^{0}}}e_{\theta }$.
• $E_{\perp }$ 場可以寫成：$E_{\perp }=0+{\tilde {E}}_{\perp }$。
• 密度可以寫成$n_{a}=n_{0}+{\tilde {n}}_{a}$。等離子體滿足準中性條件\index{quasi-neutrality} : ${\tilde {n}}_{e}={\tilde {n}}_{i}={\tilde {n}}$。
• 氣體被認為是理想氣體：$p_{a}=n_{a}k_{B}T_{a}$。
• $T_{e}$，$T_{i}$ 具有他們在平衡狀態下的值。