數學物理導論/連續近似/引言

存在幾種方法來引入物質連續近似。它們是粒子平均問題的不同方法。第一種方法是從經典力學開始，並考慮對稱為“流體元素”的基本體積進行平均。[[ 影像

 volele   
 | center | frame |Les moyennes sont faite dans la boite \'el\'ementaire de

體積 $d\tau$.}

figvolele

]] 讓我們考慮一個以 $r$ 為中心，在時間 $t$ 的基本體積 $d\tau$。圖 figvolele 說明了這種平均方法。與連續近似相關的量是透過在箱體尺寸趨於零時進行極限轉換得到的。

因此，粒子密度是箱體體積趨於零時 $dn$（箱體中的粒子數）與 $d\tau$（箱體體積）之比的極限外推。

$n(r,t)=\lim _{d\tau \rightarrow 0}{\frac {dn}{d\tau }}$

同樣，介質的平均速度定義為

$v(r,t)=\lim _{d\tau \rightarrow 0}{\frac {dv}{dn}}$

其中 $dv$ 是箱體中 $dn$ 個粒子的速度之和。

備註

從數學的角度來看，這種極限轉換很難形式化。它是一種“物理學家極限”！

備註

請注意，粒子特性與平均特性之間的關係並不總是顯而易見的。可能會發生粒子速度不為零，但其平均值為零。如果粒子發生熱擾動（如果沒有對流），就會出現這種情況。但也有可能單個粒子速度的時間平均值為零，而流體元素的速度不為零！圖

figvitnonul illustrates this remark in the case of the drift

現象（[#參考文獻

另一種方法是考慮一個粒子的分佈函式 $f(r,p,t)$，該函式在部分

secdesccinet. Let us recall that ${\frac {1}{n!}}f(r,p,t)drdp$ represents

在時間 $t$ 找到一個粒子在相空間體積 $r,p$ 和 $r+dr,p+dp$ 之間的機率。 然後將各種流體量引入作為 $f$ 相對於速度的矩。 例如，粒子密度是 $f$ 的零階矩。

$n(r,t)=\int f(r,p,t)dp$

也就是說，體積 $d\tau$ 中粒子的平均數量是

$dn=n(r,t)d\tau .$

流體速度與 $f$ 的一階矩有關

$mv(r,t)=\int pf(p,r,t)dp$

本章的目的是介紹控制連續系統動力學的定律。 通常，這些定律可以寫成 **守恆**

 laws}.