數學物理導論/連續近似/物質守恆

在方程eqcon中設定$A_{i}=\rho ={\frac {dm}{d\tau }}$，可得物質守恆方程

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}(\rho u)=0$

$\rho$稱為體積質量。該定律可以透過使用基本流體體積的計算來證明。因此，體積$d\tau$中質量$M$的每時間單位變化與流出的質量流相反

${\frac {dM}{dt}}=-\int _{d\tau }\rho vdr$

因此，該方程的區域性形式為

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}(\rho u)=0$

但該定律也可以透過計算弗拉索夫方程的一階矩來證明（參見方程eqvlasov）。然後體積質量定義為分佈函式乘以單個粒子的質量$m$的零階矩

$\rho =m\int dpf(r,p,t)$

對弗拉索夫方程取一階矩，得到

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho v)=0$

電荷守恆方程與質量守恆方程完全類似

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}{j}=0$

其中這裡的$\rho$是體積電荷，而$j$是電流密度

$j=\rho v$

$j$穿過開放曲面$S$的流量通常被稱為透過曲面$S$的電流。