數學物理導論/連續近似/動量守恆

我們假設這裡外力由 $f$ 描述，內部應力由張量 $\tau _{ij}$ 描述。

${\frac {d}{dt}}\int _{D}\rho u_{i}dv+\int _{\partial D}\tau _{ij}n_{j}d\sigma =\int _{D}f_{i}dv$

這個積分方程對應於對如圖 figconsp 所示的流體微元體積應用牛頓運動定律\index{動量}。

動量守恆定律對應於對流體微元體積應用牛頓運動定律。}

figconsp

與這個積分方程相關的偏微分方程為

${\frac {\partial }{\partial t}}(\rho u_{i})+(\rho u_{i}u_{j})_{,j}+\tau _{ij,j}=f_{i}$

利用連續性方程可得到

$\rho ({\frac {\partial }{\partial t}}u_{i}+u_{j}u_{i,j})+\tau _{ij,j}=f_{i}$

注意:動量守恆方程可以透過對Vlasov方程進行一階矩運算來證明。流體動量 ${\bar {p}}$ 然後透過以下等式與分佈函式相關

${\bar {p}}=\int pdpf(r,p,t)$

之後，流體動量簡化為 $p$。