數學物理導論/連續近似/虛功原理

原理陳述

動量守恆定律是透過對與粒子相關的量的粒子平均值來引入的。遠距離力被建模為力密度$f_{i}$，內部應變由二階張量$\tau _{ij}$，等等。這種觀點與牛頓運動定律直接相關。這裡介紹了對偶觀點：應變透過它們允許的運動來描述（[＃參考文獻|參考文獻]）。這種方式對應於我們的日常生活經驗

• 想知道錢包是否沉重，就會把它舉起來。
• 為了感受繩子的張力，會把它從平衡位置拉開。
• 推一輛車可以告訴我們剎車是否已開啟。

應變現在透過它們由位移或變形產生的影響來評估。這種觀點很有趣，因為它允許在第一種觀點中定義不確定的應變，例如摩擦或結合應變。模型化的自由度仍然很大，因為模型化者始終可以選擇允許的虛擬運動的大小。讓我們透過陳述原理來闡明這些想法。

原理

加速度量的虛功等於施加於系統的所有應變的虛功之和，包括外部應變和內部應變

$\int \rho \gamma _{i}{\hat {u}}_{i}d\tau =P^{int}+P_{dist}^{ext}+P_{contact}^{ext}$

其中 $P^{int}$ 代表內部應變的功率，$P_{dist}^{ext}$，遠距離外部應變，$P_{contact}^{ext}$ 接觸外部應變。

在sepripuiva部分，展示瞭如何將偏微分方程組簡化為變分系統：這可用於表明牛頓運動定律和虛功原理是同一條物理定律的對偶形式。

功率是透過給出空間$A$ 和 $E$ 來定義，其中 $A$ 是與 $E$ 相連的仿射空間

${\begin{array}{llll}P:&L(A,E)&\longrightarrow &R\\&u(r)&\longrightarrow &P(u(r))\end{array}}$

在seccasflu部分，我們將考慮一個例子，展示了虛功原理觀點的力量。

sepripuiva

虛功和區域性方程

區域性公式（偏導數方程或 PDE）和虛功原理（所考慮的 PDE 問題的變分形式）之間的聯絡在示例中呈現。考慮以下問題

問題

尋找 $u$ 使得

$\partial _{j}\sigma _{i,j}(u)+f_{i}=0{\mbox{ in }}\Omega$

$u_{i}=0{\mbox{ on }}\Gamma _{1}$

$\sigma _{i,j}(u)n_{j}=0{\mbox{ on }}\Gamma _{2}$

其中 $\Gamma _{1}\cup \Gamma _{2}=\partial \Omega$.

讓我們引入雙線性形式

$a(u,v)=\int _{\Omega }\sigma _{i,j}(u)\epsilon _{i,j}(v)dx$

和線性形式

$L(v)=\int _{\Omega }f_{i}v_{i}dx+\int _{\Gamma _{1}}g_{i}v_{i}dx$

可以證明存在一個空間 $V$ 使得存在一個唯一的解 $u$ 為

$\forall v\in V,a(u,v)=L(v)$

$a(u,v)$ 表示彈性固體變形在虛位移 $v$ 下對應的形變功，$u$ 為該形變對應的位移。 $L(v)$ 表示在虛位移 $v$ 下外力的功。因此，虛功率原理可以看作是偉大的守恆定律的結果：\begin{prin}虛功率原理 (靜態情況)：實際位移 $u$ 是運動學上允許的位移，使得彈性固體在虛位移 $v$ 下的形變功等於外力的功，對於任何運動學上允許的虛位移 $v$ 均成立。\end{prin} 此外，由於 $a(.,.)$ 是對稱的，解 $u$ 也是下式的最小值

$J(v)={\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{i,j}(v)\epsilon _{i,j}(v)dx-(\int _{\Omega }f_{i}v_{i}dx+\int _{\Gamma _{1}}g_{i}v_{i}dx)$

$J(v)$ 是變形固體的勢能，${\frac {1}{2}}\int _{\Omega }\sigma _{i,j}(v)\epsilon _{i,j}(v)dx$ 是形變能。 $-(\int _{\Omega }f_{i}v_{i}dx+\int _{\Gamma _{1}}g_{i}v_{i}dx)$ 是外力的勢能。這個結果 ([#References|參考文獻]) 可以表述如下：\begin{prin} 實際位移 $u$ 是所有允許位移 $v$ 中使勢能 $J(v)$ 最小的位移。\end{prin}

seccasflu

流體情況

例如，考慮一個流體（[#References|參考文獻]）。假設內部應變的功率可以用積分來描述

$P^{int}=\int (K_{i}{\hat {u}}_{i}+K_{ij}{\hat {u}}_{i,j})dx$

其中 $u_{i,j}$ 表示 $u_{i}$ 相對於座標 $j$ 的導數。這個理論被稱為一階梯度理論。

備註

將功率表達為速度場 $u$ 的函式是建模的關鍵步驟。建模者擁有很大的自由度。功率是標量，它們可以透過使用速度向量場 $u_{i}$ 及其導數對張量的收縮來獲得（參見附錄 Chaptens）。在廣義彈性中獲得內部能量的方法類似（參見部分 Secelastigene）。

用 $a$ 和 $s$ 表示所考慮張量的反對稱和對稱部分，則可得：\index{張量} 

$P^{int}=\int (K_{i}{\hat {u}}_{i}+K_{ij}^{s}{\hat {u}}_{i,j}^{s}+K_{ij}^{a}{\hat {u}}_{i,j}^{a})dx$

其中需要注意，對稱張量和反對稱張量的交叉積為零\footnote{ 也就是說： $(a_{ij}+a_{ji})(b_{ij}-b_{ji})=0$. } 。選擇均勻平移的參考系，可以證明項 $K_{i}$ 必須為零

$K_{i}=0$

反對稱張量為零，因為運動是剛性的

$K_{ij}^{a}=0.$

最後，內部應變的表示式為：\index{應變}

$P^{int}=\int (K_{ij}^{s}{\hat {u}}_{i,j}^{s})dx$

$K_{ij}^{s}$ 稱為應變張量，因為它描述了內部變形應變。 外部應變功率由以下公式模擬：

$P_{dist}^{ext}=\int (f_{i}{\hat {u}}_{i}+F_{ij}{\hat {u}}_{i,j})dx$

$F_{ij}$ 的對稱部分可以解釋為體積雙力密度，其反對稱部分可以解釋為體積偶密度。 接觸應變由以下公式模擬：

$P_{contact}^{ext}=\int (T_{i}{\hat {u}}_{i}+T_{ij}{\hat {u}}_{i,j})dx$

最後要解決的偏微分方程問題是

$f_{i}+\tau _{ij,j}=\rho \gamma _{i}{\mbox{ in }}V$

其中 $\tau _{ij}=K_{ij}^{s}-F_{ij}$

$T_{i}=\tau _{ij}n_{j},{\mbox{ sur }}\partial V$

$T_{ij}=0,{\mbox{ sur }}\partial V$

應力-變形張量

下一步是模擬內部應變，即明確張量 $K_{ij}$ 作為 $u_{i}$ 的函式的依賴關係。 這個問題在第 parenergint 章中進行了討論。 這裡讓我們給出兩種解決這個問題的方法的例子。

例子

對於理想氣體，壓強對體積為 $V$ 的系統的作用力功是

$\delta W=-pdV.$

狀態方程（從微觀理論推匯出）

$pV=nk_{B}T$

用於將應力 $p$ 與形變 $dV$ 聯絡起來。

例子

彈性理論（見第 parenergint 章）允許將應力張量 $\tau _{ij}$ 與形變張量 $\epsilon _{ij}$ 聯絡起來。