數學物理導論/微分和導數

定義

定義

令 $E$ 和 $F$ 為兩個在 $R$ 或 $C$ 上的兩個賦範向量空間，以及 $f$ 是一個定義在 $E$ 的一個開子集 $U$ 到 $F$ 的對映。如果存在一個從 $E$ 到 $F$ 的連續線性對映 $g$ ，使得 $\|f(x)-f(x_{0})-g(x-x_{0})\|$ 相對於 $\|x-x_{0}\|$ 可以忽略不計，則稱 $f$ 在 $U$ 的點 $x_{0}$ 處可微。

導數的概念沒有那麼普遍，通常是針對 $R$ 的一部分到向量空間的函式定義如下：

定義

令 $I$ 是 $R$ 中不同於一個點的區間，並且 $E$ 是 $R$ 上的賦範向量空間。從 $I$ 到 $E$ 的對映 $f$ 在 $I$ 的點 $x$ 處可導，如果比率

${\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$

當 $h$ 趨於零時，存在極限。這個極限被稱為 $f$ 在點 $x$ 處的導數，記為 $f^{\prime }(x)$。

然而，在本附錄中，我們將看到導數的一些推廣。

分佈意義下的導數

定義

通常意義下的函式導數對於非連續函式沒有定義。分佈理論允許我們將經典導數概念推廣到非連續函式。

定義

分佈 $T$ 的導數是分佈 $T'$，定義如下：

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<T'|\phi >=-<T|\phi '>$

定義

令 $f$ 為可和函式。假設 $f$ 在 $N$ 個點 $a_{i}$ 處不連續，並記 $\sigma _{a_{i}}=f(a_{i}^{+})-f(a_{i}^{-})$ 為 $f$ 在 $a_{i}$ 處的跳躍。假設 $f'$ 是區域性可和的，並且幾乎處處定義。它定義了一個分佈 $T_{f'}$。與 $f$ 相關的分佈的導數 $(T_{f})'$ 是

$(T_{f})'=T_{f'}+\sum \sigma _{a_{i}}\delta _{a_{i}}$

也就是說，分佈意義上的導數等於沒有預防措施的導數加上狄拉克分佈乘以 $f$ 的跳躍。可以注意到

$f'=\{f'\}+\sum \sigma _{a_{i}}\delta _{a_{i}}$

多變數分佈的情況

secdisplu

使用沒有預防措施的導數，微分運算元的分佈意義上的作用可以寫成，在它們作用的函式在曲面 $S$ 上不連續的情況下

${\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}=\{{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\}+n_{i}\sigma _{f}\delta _{S}$

${\mbox{ grad }}f=\{{\mbox{ grad }}f\}+n\sigma _{f}\delta _{S}$

${\mbox{ div }}a=\{{\mbox{ div }}f\}+n\sigma _{a}\delta _{S}$

${\mbox{ rot }}a=\{{\mbox{ rot }}f\}+n\wedge \sigma _{a}\delta _{S}$

其中 $f$ 是一個標量函式，$a$ 是一個向量函式，$\sigma$ 表示 $a$ 或 $f$ 穿過曲面 $S$ 的躍變，而 $\delta _{S}$ 是曲面狄拉克分佈。這些公式有助於展示張量中引入的格林函式。微分運算元的幾何含義將在下一附錄 chaptens 中討論。

例子： 電磁學 電磁學的基石是麥克斯韋方程組：\index{passage relation}

${\mbox{ rot }}E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

${\mbox{ rot }}H=j+{\frac {\partial D}{\partial t}}$

${\mbox{ div }}D=\rho$

${\mbox{ div }}B=0$

在分佈意義上也是成立的。在電磁學書籍中，通常有一章專門研究邊界條件和傳遞條件。利用分佈，可以將這種情況視為一般方程的特例。例如，考慮由以下公式定義的電荷分佈：

$\rho =\rho _{v}+\rho _{s}$

其中 $\rho _{v}$ 是體積電荷密度，$\rho _{s}$ 是表面電荷密度，電流分佈由以下公式定義：

$j=j_{v}+j_{s}$

其中 $j_{v}$ 是體積電流密度，$j_{s}$ 是表面電流密度。利用 secdisplu 部分的公式，可以得到以下傳遞關係：

${\begin{matrix}n_{12}\wedge (E_{2}-E_{1})&=&0\\n_{12}\wedge (H_{2}-H_{1})&=&j_{s}\\n_{12}(D_{2}-D_{1})&=&\rho _{s}\\n_{12}(B_{2}-B_{1})&=&0\end{matrix}}$

其中，Delta 表面分佈 $\delta _{s}$ 的係數已被確定（參見 ([#References

示例： 電路

由於麥克斯韋方程在分佈意義上是成立的（參見前面的例子），電學方程也在分佈意義上是成立的。分佈理論可以證明一些在電學課程中無法證明的斷言。考慮以下方程

$U(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri$

這個方程意味著，即使 $U$ 不連續，$i$ 也是連續的。實際上，如果 $i$ 不連續，導數 ${\frac {di}{dt}}$ 將在右邊的第二項中產生狄拉克分佈。考慮以下方程

$i={\frac {dq}{dt}}$

這個方程意味著，即使 $i$ 不連續，$q(t)$ 也是連續的。

示例： 流體力學 守恆定律在分佈意義上是成立的。利用分佈導數，可以立即獲得所謂的“不連續”關係 ([#References

隨機過程的微分

secstoch

當人們談論隨機\index{隨機過程}過程（[#References|參考文獻]）時，就加入了時間概念。再次以骰子為例，如果我們重複實驗$N$次，則可能結果的數目為$\Omega '=6^{N}$（集合$\Omega$的大小隨$N$呈指數級增長）。我們可以利用這個$\Omega '$定義一個機率$P'$。因此，從第一個隨機變數$X$，我們可以定義另一個隨機變數$X_{t}$

定義

令$X$為一個隨機變數\index{隨機變數}。隨機過程（與$X$相關）是$X$和$t$的函式。

$X_{t}$被稱為$X$的隨機函式或

隨機過程。通常情況下，機率$P(X_{t}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}{\mbox{ at }}t_{i})$取決於$X_{t}$在$t_{i}$之前的值的歷史。我們定義條件機率$P(X_{t=t_{i}}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}|X_{t\leq t_{i}})$為$X_{t}$在時間$t_{i}$取值在$x$和$x+dx$之間的機率，前提是已知$X_{t}$在時間$t_{i}$之前的值（或$X_{t}$的“歷史”)。馬爾可夫過程是一種隨機過程，其具有以下性質：對於任意一組連續的時間$t_{1},\dots ,t_{n}$，我們有

$P_{1|n-1}(X_{t=t_{n}}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}|X_{t_{1}}\dots X_{t_{n}})=P_{1|1}(X_{t=t_{n}}\in {\mathrel {[}}x,x+dx{\mathrel {[}}|X_{t_{n-1}})$

$P_{i|j}$ 表示在已知 $j$ 個先驗事件發生的情況下，$i$ 個條件滿足的機率。換句話說，$X_{t}$ 在時間 $t_{n}$ 的期望值只取決於 $X_{t}$ 在前一時間 $t_{n-1}$ 的值。它由轉移矩陣 $P_{1}$ 和 $P_{1|1}$ 定義（或等效地由轉移密度函式 $f_{1}(x,t)$ 和 $f_{1|1}(x_{2},t_{2}|x_{1},t_{1})$ 定義）。可以看出（[#References|參考文獻]）兩個函式 $f_{1}$ 和 $f_{1|1}$ 定義了一個馬爾可夫\index{馬爾可夫過程}過程，當且僅當它們滿足以下條件：

• 查普曼-科爾莫哥洛夫方程\index{查普曼-科爾莫哥洛夫方程}

$f_{1|1}(x_{3},t_{3})=\int f_{1|1}(x_{3},t_{3}|x_{2},t_{2})f_{1|1}(x_{2},t_{2}|x_{1},t_{1})dx_{2}$

eqnecmar

$f_{1}(x_{2},t_{2})=\int f_{1|1}(y_{2},t_{2}|y_{1},t_{1})f_{1}(y_{1},t_{1})dx_{1}$

維納過程\index{維納過程}\index{布朗運動}（或布朗運動）是一個馬爾可夫過程，其滿足以下條件：

$f_{1|1}(x_{2},t_{2}|x_{1},t_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi (t_{2}-t_{1})}}}e^{-{\frac {(x_{2}-x_{1})^{2}}{2(t_{2}-t_{1})}}}$

使用公式 eqnecmar，得到

$f_{1}(x,t)={\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {x^{2}}{2t}}}$

由於隨機過程被定義為隨機變數和時間的函式，一大類\footnote{然而，這個定義排除了泊松過程等不連續情況}隨機過程可以被定義為布朗運動（或維納過程）$W_{t}$的函式。這是我們對隨機過程的第二個定義。

定義

設$W_{t}$為布朗運動。隨機過程是$W_{t}$和$t$的函式。

例如，股票時間演化的模型（[#References|references]）是

$X_{t}=e^{(\sigma W_{t}+(\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2})t)}$

一個隨機微分方程

$dX_{t}=a(t,X_{t})dt+b(t,X_{t})dW_{t}$

給出了隨機過程的隱式定義。關於布朗運動變數$W_{t}$的微分規則不同於關於普通時間變數的微分規則。它們由伊藤公式\index{伊藤公式}給出（[#References|references]）。為了理解牛頓函式和隨機函式微分之間的差異，考慮函式$f(W_{t})$的泰勒展開，直到二階

$f(W_{t}+dW_{t})-f(W_{t})=f^{'}(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f^{''}(W_{t})(dW_{t})^{2}+\dots$

通常（對於牛頓函式），微分 $df(W_{t})$ 僅僅是 $f^{'}(W_{t})dW_{t}$。但是，對於隨機過程 $f(W_{t})$，二階項 ${\frac {1}{2}}f^{''}(W_{t})(dW_{t})^{2}$ 就不再可以忽略。事實上，正如利用布朗運動的性質可以看出，我們有

$\int _{0}^{t}(dW_{s})^{2}=t$

或者

$(dW_{t})^{2}=dt.$

圖 figbrown 說明了隨機過程（圖中的簡單布朗運動）和可微函式之間的差異。布朗運動在逐步放大下具有自相似結構。\begin{figure} \begin{tabular}[t]{c c}

\epsffile{b0_3} \epsffile{n0_3}

\epsffile{b0_4} \epsffile{n0_4}

\epsffile{b0_5} \epsffile{n0_5} \end{tabular} | center | frame |布朗運動和可微函式的逐步放大對比}

figbrown

]]

這裡我們只提及用計算機積分隨機過程的最基本方案。考慮時間積分問題

$dX_{t}=a(t,X_{t})dt+b(t,X_{t})dW_{t}$

初始值為

$X_{t_{0}}=X_{0}$

解決上述問題最基本的方法是使用尤拉（或尤拉-丸山）方法。該方案滿足以下迭代方案

$X_{n+1}=X_{n}+a(\tau _{n},Y_{n})(\tau _{n+1}-\tau _{n})+b(\tau _{n},Y_{n})(W_{\tau _{n+1}}-W_{\tau _{n}})$

更復雜的方法可以在 ([#References|參考文獻]) 中找到。

泛函導數

設 $(\phi )$ 為泛函。為了計算泛函 $I(\phi )$ 的微分 $dI(\phi )$，我們將差 $I(\phi +d\phi )-I(\phi )$ 表示為 $d\phi$ 的泛函。

函式 $I$ 的 *泛函導數* 記作 ${\frac {\delta I}{\delta \phi }}$ ，由極限給出

${\frac {\delta I}{\delta \phi }}=\lim _{a\rightarrow 0}{\frac {\partial I}{\partial \phi _{i}}}$

其中 $a$ 是實數，且 $\phi _{i}=\phi (ia)$.

以下是一些例子：

示例

如果 $I(\phi )=\int f(y)\phi ^{p}(y)dy$ 則 ${\frac {\delta I}{\delta \phi }}=pf(x)\phi ^{p-1}(x)$

示例

如果 $I(\phi )=\int V(\phi (y))dy$ 則 ${\frac {\delta I}{\delta \phi }}=V^{\prime }(\phi (x))$.

章節標題

不同點張量值的比較

函式關於 x=a 的級數展開

定義

函式 $f$ 在 $x=a$ 附近，如果存在數字 $(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ 使得

$f(a+h)=\sum _{k=0}^{n}\lambda _{k}h^{k}+h^{n}\epsilon (h)$

其中 $\epsilon (h)$ 當 $h$ 趨於零時趨於零。

定理

如果一個函式在 $a$ 可導 $n$ 次，則它在 $x=a$ 附近存在 $n$ 階的級數展開，它由泰勒-楊公式給出

$f(a+h)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}f^{(k)}(a)h^{k}+h^{n}\epsilon (h)$

其中 $\epsilon (h)$ 當 $h$ 趨於零時趨於零，並且 $f^{(k)}(a)$ 是 $f$ 在 $x=a$ 的 $k$ 階導數。

注意定理的逆命題是錯誤的：$f(x)={\frac {1}{x^{3}}}\sin(x)$ 是一個函式，它在零點附近存在 2 階展開，但不能二階可導。

secderico

非客觀量

考慮座標為 $x^{i}$ 和 $x^{i}+dx^{i}$ 的兩點 $M$ 和 $M'$。在物理學中經常考慮的第一變分是：

eqapdai

$d(a^{i}e_{i})={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}e_{i}$

非客觀變分是

$da^{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

需要注意的是，$da^{i}$ 不是一個張量，公式 eqapdai 假設 $e_{i}$ 在點 $M$ 和點 $M'$ 之間沒有變化。它不遵守張量變換關係。這就是為什麼它被稱為非客觀變化。下一節介紹了一個允許定義張量的客觀變化：它考慮了基矢的變化。

exmpderr

例子： 拉格朗日速度： 編號為 $a$ 的粒子的拉格朗日運動描述，是由它在每個時間 $t$ 的位置 $r_{a}$ 給出的。如果

$r_{a}(t)=x^{i}(t)e_{i}$

那麼拉格朗日速度是

${\frac {dr_{a}}{dt}}={\frac {dx^{i}}{dt}}e_{i}$

在例子 exmpderr 中介紹的導數不是客觀的，這意味著它不隨軸的變化而保持不變。特別地，我們有著名的向量導數公式：

eqvectderfor

${\frac {dA}{dt}}_{R}={\frac {dA}{dt}}_{R_{1}}+\omega _{R_{1}/R}\wedge A$

示例

流體的尤拉描述由 “尤拉” $v(x,t)$ 速度場和初始條件給出，使得

$x=r_{a}(0)$

其中 $r_{a}$ 是粒子的拉格朗日位置，並且

$v(x,t)={\frac {dr_{a}}{dt}}.$

尤拉描述和拉格朗日描述是等價的。

示例

讓我們考慮速度場 $u$ 在時間 $t$ 時，兩個位置之間的變化。如果速度場 $u$ 是可微分的，則存在一個線性對映 $K$ 使得：

eqchampudif

$u_{i}({\vec {r}}+d{\vec {r}})-u_{i}({\vec {r}})=K.\delta {\vec {r}}_{j}+O(||{\vec {r}}||)$

$K_{ij}=u_{i,j}$ 被稱為速度場梯度張量。張量 $K$ 可以分成一個對稱部分和一個反對稱部分

$K=\left({\begin{array}{ccc}e_{11}&e_{12}&e_{13}\\e_{21}&e_{22}&e_{23}\\e_{31}&e_{32}&e_{33}\\\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{ccc}0&-s_{3}&s_{2}\\.&0&-s_{1}\\.&.&0\\\end{array}}\right)$

對稱部分被稱為膨脹張量，反對稱部分被稱為旋轉張量。現在，$u_{i}({\vec {r}}+d{\vec {r}})-u_{i}({\vec {r}})={\frac {d\delta {\vec {r}}}{dt}}$。因此，使用方程式 eqchampudif

${\frac {d\delta {\vec {r}}}{dt}}=K\delta {\vec {r}}$

此結果對向量 $\delta {\vec {r}}$ 成立，也對任何向量 ${\vec {a}}$ 成立。最後一個方程式表明

• 跟隨運動的粒子附近的基本體積 $dv$ 對時間的導數是\footnote{ 確實

$d(\delta v)=d(\delta x)\delta y\delta z+d(\delta y)\delta x\delta z+d(\delta z)\delta x\delta y$

體積增量的等式形式

${\frac {d(\delta v)}{dt}}={\mbox{ div }}u\delta v$

} 

${\frac {d(dv)}{dt}}={\mbox{ div }}udv$

• 固體的速度場是反對稱的。

偏導數的例子

例子： 張量的偏導數： 偏導數是定義在一組粒子上的量的隨時間變化率，這些粒子在運動過程中被追蹤。 當使用拉格朗日變數時，它可以被識別為相對於時間的偏導數（[#References

以下性質可以被證明（[#References|references]): \begin{prop} 讓我們考慮積分

$I=\int _{V}\omega$

其中 $V$ 是一個維數為 $p$ 的連通流形（體積，表面...），它在運動過程中被追蹤，而 $\omega$ 是一個以尤拉變量表示的 p 次微分形式。 $I$ 的偏導數驗證

${\frac {d}{dt}}\int _{V}\omega =\int _{V}{\frac {d\omega }{dt}}$

\end{prop} 這個結果的證明可以在（[#References|references）中找到。

示例

考慮積分

$I=\int _{V}C(x,t)dv$

其中 $D$ 是一個在運動過程中被追蹤的有界連通域，$C$ 是一個在 $D$ 的閉包中連續且在 $D$ 中可微的標量值函式。 $I$ 的偏導數是

${\frac {dI}{dt}}=\int _{D}\{{\frac {\partial C}{\partial t}}+{\mbox{ div }}(C{\vec {u}})\}dv,$

根據公式 eqformvol

${\frac {d}{dt}}(dv)={\mbox{ div }}{\vec {u}}dv.$

secandericov

協變導數

在本節中，我們將介紹一個與所考慮參考系無關的導數（客觀導數）。考慮量 $a$ 在兩個點 $M$ 和 $M'$ 的差異。

$da=a(M')-a(M)=da^{i}e_{i}+a^{i}de_{i}$

如第 secderico 節所述

$da^{i}e_{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}e_{i}$

變化 $de_{i}$ 與 $e_{j}$ 透過切線應用線性相關

$de_{i}=d\omega _{i}^{j}e_{j}$

旋轉向量與位移線性相關：

eqchr

$de_{i}=\Gamma _{ik}^{j}dx^{k}e_{j}$

符號 $\Gamma _{ik}^{j}$，稱為克里斯托費爾符號，不是 張量。它們連線了空間在 $M$ 的性質及其在點 $M'$ 的性質。透過在公式 eqchr 中改變索引：

eqcovdiff

$da^{i}e_{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}e_{i}+a^{k}\Gamma _{kj}^{i}dx^{j}e_{i}$

由於 $x^{j}$ 是獨立變數

定義

逆變向量 $a^{i}$ 的協變導數為

eqdefdercov

${\frac {Da^{i}}{Dx^{j}}}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}+a^{k}\Gamma _{kj}^{i}$

因此，微分可以表示為

$da^{i}={\frac {Da^{i}}{Dx^{j}}}dx^{j},$

這是微分的推廣

$da_{i}={\frac {\partial a_{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$

當沒有座標變換時，該公式可推廣到張量。

備註

對於計算第

secderico the $x^{j}$ are the coordinates of the point, but the quantity

節中給出的偏導數，也取決於時間。這就是公式 eqformalder 中出現 ${\frac {\partial x^{j}}{\partial t}}$ 項，而在公式

eqdefdercov. 

備註

從公式 eqdefdercov，可以得到公式

eqvectderfor can be recovered when: 

$de_{i}=\omega _{i}^{j}dte_{j}$

備註

在具有度量的空間中，$\Gamma _{kj}^{i}$ 是度量張量 $g^{ij}$ 的函式。

協變微分運算元

可以定義以下具有張量性質的微分運算元

• 標量的梯度
  $a={\mbox{ grad }}V$
  其中 $a_{i}={\frac {\partial V}{\partial x^{i}}}$.
• 向量的旋度
  $b={\mbox{ rot }}a_{i}$
  其中 $b_{ik}={\frac {\partial a_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x^{k}}}$。旋度的張量性可以使用協變導數的張量性來證明
  ${\frac {\partial a_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial a_{i}}{\partial x^{k}}}={\frac {Da_{k}}{Dx^{i}}}-{\frac {Da_{i}}{Dx^{k}}}$
• 逆變密度的散度
  $d={\mbox{ div }}a^{i}$
  其中 $d={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{i}}}$.

有關可以在張量上定義的運算元的更多詳細資訊，請參見

([#References|references]). 

在正交歐幾里得空間中，有以下關係

${\mbox{ rot }}({\mbox{ grad }}\phi )=0$

和

${\mbox{ div }}({\mbox{ rot }}(a))=0$

$\nabla \wedge (\nabla \wedge c)=\nabla (\nabla .c)-\nabla ^{2}a$