數學物理學導論/拓撲空間的對偶

定義

定義

設 $E$ 是拓撲向量空間。集合 $E^{\prime }$ 是 $E$ 上的連續線性形式的向量子空間，稱為 $E$ 的拓撲對偶。

分佈

chapdistr

分佈\index{distribution} 可以用優雅且簡潔的方式描述許多物理現象。它們可以描述靜電中的電荷“分佈”（如點電荷、偶極電荷）。它們還可以將導數的概念推廣到不連續的函式。

定義

L. Schwartz 分佈是 ${\mathcal {D}}$ 上的連續線性泛函，因此是 ${\mathcal {D}}$ 的對偶 ${\mathcal {D}}'$ 的元素。

定義

如果一個函式在任何有界區間上都是 Lebesgue 可積的，則稱該函式是區域性可和的。

定義

對於任何區域性可和函式 $f$，可以關聯一個分佈 $T_{f}$，定義為

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<T_{f}|\phi >=\int f(x)\phi (x)dx$

可以關聯。

定義

狄拉克分佈\index{Dirac distribution}，記為 $\delta$，定義為

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<\delta |\phi >=\phi (0)$

備註

物理學家經常使用（不正確的！）積分符號

$\int \delta (x)\phi (x)dx=\phi (0)$

來描述狄拉克分佈 $\delta$ 對函式 $\phi$ 的作用。

卷積是兩個函式 $f$ 和 $g$ 的運算結果，如果存在，則表示為函式 $h$，其定義如下：

$h(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }f(u)g(x-u)du$

並記為

$h=f*g.$

兩個分佈 $S$ 和 $T$ 的卷積運算結果 (如果存在) 是一個記為 $S*T$ 的分佈，其定義如下：

$\forall \phi (x)\in {\mathcal {D}},<S*T,\phi >=<S(x)T(y),\phi (x+y)>$

以下是卷積運算的一些結果：

• 與 $\delta$ 進行卷積運算相當於單位運算。
• 與 $\delta ^{\prime }$ 進行卷積運算相當於求導運算。
• 與 $\delta ^{(m)}$ 進行卷積運算相當於求 m 階導數。
• 與 $\delta (x-a)$ 進行卷積運算相當於將函式進行 a 位平移。

函式的傅立葉變換的概念可以推廣到分佈。首先回顧函式的傅立葉變換的定義。

定義

設 $f(x)$ 是實變數 $x$ 的複數值函式\index{傅立葉變換}。 $f(x)$ 的傅立葉變換是實變數 $\sigma$\sigma 的複數值函式 ${\hat {f}}(\sigma )<math>ofrealvariable$\sigma</math>，其定義如下：

${\hat {f}}(\sigma )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i2\pi \sigma x}dx,$

如果存在。

傅立葉變換存在的充分條件是 $f(x)$ 是可和的。傅立葉變換可以反轉：如果

${\hat {f}}(\sigma )=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)e^{-i2\pi \sigma x}dx,$

那麼

$f(x)=\int _{-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}(\sigma )e^{i2\pi \sigma x}dx,$

以下是一些有用的公式

$f(-x)\rightarrow {\hat {f}}(-\sigma )$

${\bar {f}}(x)\rightarrow {\bar {\hat {f}}}(-\sigma )$

$f(x-a)\rightarrow e^{-2i\pi \sigma a}{\hat {f}}(\sigma )$

$f(ax)\rightarrow {\frac {1}{a}}{\hat {f}}({\frac {\sigma }{a}})$

$f'(x)\rightarrow 2i\pi \sigma {\hat {f}}(\sigma )$

$f\ast g\rightarrow {\hat {f}}{\hat {g}}$

現在讓我們將傅立葉變換的概念推廣到分佈。分佈的傅立葉變換不能透過以下公式定義：

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},<{\hat {T}}|\phi >=<T|{\hat {\phi }}>$

事實上，如果 $\phi \in {\mathcal {D}}$，那麼 $\phi \notin {\mathcal {D}}$，上述等式的第二項不存在。

定義

空間 ${\mathcal {S}}$ 是快速衰減函式的空間。更準確地說，$\phi \in {\mathcal {S}}$ 如果

• 它的 $m-$導數 $\phi ^{(m)}(x)$ 對任何正整數 $m$ 存在。
• 對於所有正整數或零整數 $p$ 和 $m$，$x^{p}\phi ^{(m)}(x)$ 是有界的。

定義

緩增分佈 $T$ 的傅立葉變換是分佈 ${\hat {T}}$，定義為

$\forall \phi \in {\mathcal {S}},<{\hat {T}}|\phi >=<T|{\hat {\phi }}>$

狄拉克分佈的傅立葉變換是 1

$\delta (x)\rightarrow 1(x)$

分佈\index{distribution} 可以用優雅且簡潔的方式描述許多物理現象。它們可以描述靜電中的電荷“分佈”（如點電荷、偶極電荷）。它們還可以將導數的概念推廣到不連續的函式。

統計描述

隨機變數

分佈理論將函式概念推廣到描述 \index{隨機變數} 物理學中非常常見的物體（點電荷、不連續面等）。隨機變數也描述了物理學中非常常見的物體。正如我們將看到的，分佈可以幫助描述隨機變數。在 secstoch 部分，我們將介紹隨機過程，這是無處可微的數學特徵。

設 $B$ 是集合 $\Omega$ 中 “結果” $\omega$ 的一個部落。事件是 $B$ 的一個元素，即一組 $\omega$。機率 $P$ 是部落 $B$ 的一個正測度。從 0 到 6 編 號 的骰 子 面 可 以 被 視 為 集 合 $\Omega =\{\omega _{1},\dots ,\omega _{6}\}$ 的 結果。隨機變數 $X$ 是從 $\Omega$ 到 $R$（或 $C$）的一個對映。例如，可以將骰子實驗的每個結果 $\omega$ 關聯到一個等於其上面寫著的數字的數字。這個數字就是一個隨機變數。

機率密度

分佈理論為描述統計“分佈”提供了合適的框架。設 $X$ 是一個在 $R$ 中取值的隨機變數。

定義

機率密度函式 $f(x)$ 使得

$P(X\in {\mathrel {]}}x,x+dx{\mathrel {]}})=f(x)dx$

它滿足：$\int f(x)dx=1$

例子

伯努利過程的機率密度函式為

$f(x)=p\delta (x)+q\delta (x-1)$

劃分函式的矩

通常，函式$f(x)$ 由其矩來描述

定義

函式$f(x)$ 的$p^{th}$ 矩是積分

$m_{p}=\int x^{p}f(x)dx$

定義

隨機變數的均值或數學期望是矩$m_{1}$

定義

方差$v$ 是二階矩

$v=\sigma ^{2}=\int (x-m_{1})^{2}f(x)dx$

方差的平方根稱為離差，記作$\sigma$.

生成函式

定義

機率密度$f$ 的生成函式\index{生成函式} 是$f$ 的傅立葉變換。

例子

對於伯努利分佈

${\hat {f}}(\nu )=p+qe^{-2i\pi \nu }$

傅立葉變換的性質

${\hat {f}}^{(p)}(\nu )=\int (-2i\pi x)^{p}f(x)e^{-2i\pi \nu x}$

意味著

$m_{p}={\frac {1}{(-2i\pi )^{p}}}{\hat {f}}^{(p)}(0)$

隨機變數的和

定理

兩個**獨立**隨機變數之和$x=x_{1}+x_{2}$ 的密度機率$f_{x}$ 是密度機率$f_{x_{1}}$ 和 $f_{x_{2}}$ 的卷積積。

我們這裡不提供這個定理的證明，但讀者可以透過以下例子理解卷積是如何出現的。兩個隨機變數的和可以取$i,\dots ,N$ 的值，其中$N>n$，其機率為 $n$，考慮所有可能的情況

$P_{(x=n)}=P_{(x_{1}=0)}P_{(x_{2}=n)}+P_{(x_{1}=1)}P_{(x_{2}=n-1)}+\dots +P_{(x_{1}=0)}P_{(x_{2}=n)}$

這可以用來證明與二項式定律相關的密度機率。利用先前定理的傅立葉對應物

${\begin{matrix}{\hat {f}}(\nu )&=&(p+qe^{-2i\pi \nu })^{n}\\&=&\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{n-k}q^{k}e^{-2i\pi \nu k}\end{matrix}}$

所以

$f(x)=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{n-k}q^{k}\delta (x-k)$

我們來陳述中心極限定理。

定理

大量函式的卷積積趨於\footnote{ 這裡使用的極限概念沒有明確說明，因為這個結果在這本書中不會被進一步使用。} 高斯函式。 \index{中心極限定理}

$[f(x)]^{*n}\longrightarrow {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi n}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2n\sigma ^{2}}}}$

證明

讓我們快速粗略地證明這個定理。假設 ${\hat {f}}(\nu )$ 在零點附近有以下泰勒展開式

${\hat {f}}(\nu )={\hat {f}}(0)+\nu {\hat {f}}^{\prime }(0)+{\frac {\nu ^{2}}{2}}{\hat {f}}^{\prime \prime }(0)$

並且當 $p\geq 3$ 時，矩 $m_{p}$ 為零。然後使用矩的定義

${\hat {f}}(\nu )=m_{0}+\nu (-2i\pi )m_{1}+{\frac {\nu ^{2}}{2}}(-2i\pi )^{2}m_{2}$

這表明使用 $m_{0}=1$ ，

$\ln(({\hat {f}}(\nu ))^{n})=n\ln(1-2i\pi \nu m_{1}-{\frac {\nu ^{2}}{2}}(-2i\pi )^{2}m_{2})$

泰勒展開式給出

$\ln(({\hat {f}}(\nu ))^{n})\sim n(-2i\pi \nu m_{1}-{\frac {\nu ^{2}}{2}}(-2i\pi )^{2}m_{2})$

最後，反傅立葉變換

$({\hat {f}}(\nu ))^{*n}\sim \delta (x-nm_{1})*{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi n}}}}e^{-{\frac {x^{2}}{2n\sigma ^{2}}}}$