數學物理導論/向量空間的對偶

向量空間的對偶

定義

令 $E$ 為在交換域 $K$ 上的向量空間。向量空間 ${\mathcal {L}}(E,K)$ 表示對 $E$ 的線性泛函的向量空間，稱為 $E$ 的對偶空間，記作 $E^{*}$ 。

當 $E$ 的維數有限時， $E^{*}$ 也具有有限維數，其維數等於 $E$ 的維數。如果 $E$ 的維數是無窮的， $E^{*}$ 也是無窮維的，但這兩個空間並不同構。

章節

張量

在本附錄中，我們介紹物理學中張量\index{張量}的基本概念。更多資訊可以在（[#References|參考文獻]）中找到。令 $E$ 為一個有限維向量空間。令 $e_{i}$ 為 $E$ 的一個基。向量 $X$ 在 $E$ 中可以用其在基 $e_{i}$ 上的座標 $x^{i}$ 來表示

X=x^{i}e_{i}

在本章中將使用重複指標約定（或**愛因斯坦求和約定**）。它認為兩個具有相同指標的量的乘積對應於對該指標的求和。例如

x^{i}e_{i}=\sum _{i}x^{i}e_{i}

或者

a_{ijk}b_{ikm}=\sum _{i}\sum _{k}a_{ijk}b_{ikm}

對於向量空間 $E$ 存在一個空間 $E^{*}$ ，稱為 $E$ 的對偶空間。 $E^{*}$ 中的元素是 $E$ 上的 *線性形式*: 它是一個線性對映 $p$ ，將 $E$ 中的任何向量 $Y$ 對映到一個實數。 $p$ 由一組數字 $x_{i}$ 定義，因為 $E$ 上線性形式的最一般形式是

p(Y)=x_{i}y^{i}

$E^{*}$ 的基底 $e^{i}$ 可以由以下線性形式定義

e^{j}e_{i}=\delta _{i}^{j}

其中， $\delta _{i}^{j}$ 當 $i=j$ 時為1，否則為0。因此，對於 $E$ 中每個分量為 $x^{i}$ 的向量 $X$ ，都可以在 $E^{*}$ 中關聯一個對偶向量，其分量為 $x_{i}$

X=x_{i}e^{i}

量

|X|=x_{i}x^{i}

是一個不變數，它與所選的基底無關。另一方面，向量 $X$ 的分量表達式則與所選的基底有關。如果 $\omega _{k}^{i}$ 定義了一個將基底 $e_{i}$ 對映到另一個基底 $e'_{i}$ 的變換

eqcov

e'_{i}=\omega _{i}^{k}e_{k}

我們有以下關於 $e_{i}$ 中 $X$ 的分量 $x_{i}$ 和 $e'_{i}$ 中 $X$ 的分量 $x'_{i}$ 之間的關係：

eqcontra

x^{i}=\omega _{k}^{i}x'^{k}

這來自

X=x'^{i}e'_{i}=x'^{i}\omega _{i}^{k}e_{k}

以及

X=x^{i}e_{i}

等式 eqcov 和 eqcontra 定義了兩種型別的變數：像向量基一樣變換的 *協變* 變數。 $x_{i}$ 就是這樣的變數。 *逆變* 變數像該基上的向量分量一樣變換。用物理學詞彙來說， $x_{i}$ 被稱為協變向量， $x^{i}$ 被稱為逆變向量。

設 $x_{i}$ 和 $y_{j}$ 是兩個向量空間 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 中的兩個向量。張量積空間 $E_{1}\otimes E_{2}$ 是一個向量空間，使得在 $E_{1}\times E_{2}$ 的雙線性形式空間和 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的線性形式空間之間存在唯一的同構。 $E_{1}\times E_{2}$ 的雙線性形式是

b(x,y)=b^{ij}x_{i}x_{j}

它可以被認為是 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的線性形式，使用來自 $E_{1}\times E_{2}$ 到 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的運算 $\otimes$ ，該運算對於 $+$ 是線性和可分配的。如果 $e_{i}$ 是 $E_{1}$ 的基，而 $f_{j}$ 是 $E_{2}$ 的基，那麼

x\otimes y=x_{i}y_{j}e_{i}\otimes e_{j}.

$e_{i}\otimes e_{j}$ 是 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的基。因此，張量 $x_{i}y_{j}=T_{ij}$ 是 $E_{1}\otimes E_{2}$ 的元素。因此，二階協變張量是 $E^{*}\otimes E^{*}$ 的元素。在基變換中，其分量 $a{ij}$ 按照以下關係進行變換

a'_{ij}=\omega _{i}^{k}\omega _{j}^{l}a_{kl}

現在我們可以定義任意秩和任意方差的張量。例如，一個三階、兩次協變、一次逆變的張量是一個元素 $a$ 的 $E^{*}\otimes E^{*}\otimes E$ ，記為 $a_{ij}^{k}$ 。

一個二階張量被稱為對稱張量，如果 $a_{ij}=a_{ji}$ 。如果 $a_{ij}=-a_{ji}$ ，則被稱為反對稱張量。

偽張量 的變換方式與普通張量略有不同。例如，一個二階協變偽張量根據以下方式進行變換。

a'_{ij}=det(\omega )\omega _{i}^{k}\omega _{j}^{l}a_{kl}

其中 $det(\omega )$ 是變換 $\omega$ 的行列式。

secformultens

讓我們介紹兩個特殊的張量。

克羅內克符號 $\delta _{ij}$ 由以下定義。
$\delta _{ij}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{ if }}i=j\\0&{\mbox{ if }}i\neq j\end{array}}\right.$
它是 $R^{3}$ 中唯一在旋轉下保持不變的二階張量。
排列符號張量 $e_{ijk}$ 由以下定義。

e_{ijk}=\left\{{\begin{array}{ll}1&{\mbox{if permutation }}ijk{\mbox{ of }}1,2,3{\mbox{ is even}}\\-1&{\mbox{if permutation }}ijk{\mbox{ of }}1,2,3{\mbox{ is odd}}\\0&{\mbox{if }}ijk{\mbox{ is not a permutation of }}1,2,3\end{array}}\right.

它是 $R^{3}$ 中唯一在旋轉下保持不變的三階偽張量。它滿足以下等式

e_{ijk}e_{imn}=\delta _{jm}\delta _{kn}-\delta _{jn}\delta _{km}

我們引入兩個張量運算：標量積、向量積。

標量積 $a.b$ 是向量 $a$ 和 $b$ 的收縮。
$a.b=a_{i}b_{i}$
兩個向量 $a$ 和 $b$ 的向量積是
$(a\wedge b)_{i}=e_{ijk}a_{j}b_{k}$

從這些定義中，我們可以得出以下公式

{\begin{matrix}a.(b\wedge c)&=&a_{i}(b\wedge c)_{i}\\&=&a_{i}\epsilon _{ijk}b_{j}c_{k}\\&=&\epsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}\\&=&\left|{\begin{array}{ccc}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\\\end{array}}\right|\end{matrix}}

這是一個有用的公式

a\wedge (b\wedge c)=d(a.c)-c(a.b)

secappendgreeneq

格林定理

格林定理允許我們將體積計算積分轉換為表面計算積分。

定理

設 $\omega$ 是 $R^{p}$ 中的有界區域，且邊界光滑。設 ${\vec {n}}$ 是超曲面 $\partial \omega$ 的法向量（指向 $\omega$ 的外部）。設 $t_{ij\dots q}$ 是一個張量，在 $\omega$ 中連續可微，那麼：\index{Green's theorem}