數學物理導論/電磁學/電磁場

場的方程：麥克斯韋方程組

電磁相互作用用電磁場來描述：$E$ 場稱為電場，$B$ 場稱為磁場，$D$ 場和 $H$ 場。這些場是麥克斯韋方程組的解，\index{麥克斯韋方程組}

${\mbox{ div }}D=\rho$

${\mbox{ rot }}H=j+{\frac {\partial {D}}{\partial t}}$

${\mbox{ div }}B=0$

${\mbox{ rot }}E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

其中 $\rho$ 是電荷密度，$j$ 是電流密度。這個方程組需要由稱為本構關係的附加關係補充完整，這些關係將 $D$ 與 $E$ 以及 $H$ 與 $B$ 聯絡起來。在真空中，這些關係是

$D=\epsilon _{0}E$

$H={\frac {B}{\mu _{0}}}$

在連續物質介質中，需要進行能量假設（參見parenergint章節）。

備註

在諧波狀態下\footnote{這意味著場滿足以下關係

$E={\mathcal {E}}e^{j\omega t}$

$B={\mathcal {B}}e^{j\omega t}$

} 並且當沒有源且本構關係為

• 對於 $D$ 場
  $D(r,t)=\epsilon (r,t)*E(r,t)$
  其中 $*$ 表示時間卷積\index{卷積}（$D(r,t)$ 場在時間 $t$ 的值取決於之前時間的 $E$ 值）並且
• 對於 $B$ 場
  $H={\frac {B}{\mu _{0}}},$

麥克斯韋方程意味著亥姆霍茲方程

$\Delta {\mathcal {E}}+k^{2}{\mathcal {E}}=0.$

證明是習題exoeqhelmoltz 的主題。

備註

光學方程是麥克斯韋方程的極限情況。依康方程

${\mbox{ grad }}^{2}L=n^{2}$

其中 $L$ 是光程，$n$ 是光學指數，可以透過使用 WKB 方法從亥姆霍茲方程獲得（參見部分secWKB）。費馬原理可以從依康方程透過光線方程推匯出（參見部分secFermat）。惠更斯衍射原理可以透過使用積分方法從亥姆霍茲方程推匯出（參見部分secHuyghens）。

電荷守恆

描述電荷守恆的區域性方程是：

eqconsdelacharge

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mbox{ div }}{j}=0$

secmodelcha

電荷建模

麥克斯韋-高斯方程中真空中的電荷密度

${\mbox{ div }}E={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

需要以分散式的意義來理解，也就是說 $E$ 和 $\rho$ 都是分佈。特別是 $\rho$ 可以是狄拉克分佈，而 $E$ 可以是不連續的（參見關於分佈的附錄 chapdistr）。根據定義

• 位於 $r=0$ 的點電荷 $q$ 由分佈 $q\delta (r)$ 建模，其中 $\delta (r)$ 是狄拉克分佈。
• 偶極矩為 $P_{i}$ 的偶極子\index{dipole} 由分佈 ${\mbox{ div }}(P_{i}\delta (r))$ 建模。
• 四極矩張量\index{tensor} 為 $Q_{i,j}$ 的四極子由分佈 $\partial _{x_{i}}\partial _{x_{j}}(Q_{i,j}\delta (r))$ 建模。
• 以同樣的方式，可以定義更高階的矩。

電流密度 $j$ 也由分佈建模

• 單極子不存在！沒有點電荷的等效物。
• 磁偶極子是 ${\mbox{ rot }}A_{i}\delta (r)$

secpotelec

靜電勢

靜電勢是麥克斯韋-高斯方程的解

$\Delta V={\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}$

這些方程可以透過第chapmethint節介紹的積分方法求解：一旦找到問題的格林函式（或平移不變問題的基本解），則任何其他源的解都可以寫成一個簡單的積分（或對於平移不變問題，可以寫成一個簡單的卷積）。單位點電荷在無限空間中產生的電勢$V_{e}(r)$是麥克斯韋-高斯方程的基本解。

$V_{e}(r)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}r}}$

讓我們舉一個第chapmethint節介紹的積分方法的應用例子。

例子

無限空間中由電偶極子產生的電勢

$V_{P_{i}}=\int V_{e}(r-r')\partial _{i}(P_{i}\delta (r'))$

由於電勢在無窮遠處為零，使用格林公式

$V_{P_{i}}=-\int \partial _{i}(V_{e}(r-r'))(P_{i}\delta (r')).$

根據$\delta$分佈的性質，得到

eqpotdipo

$V_{P_{i}}=-\partial _{i}(V_{e}(r))P_{i}$

seceqmaxcov

麥克斯韋方程的協變形式

在上一章中，我們已經看到光速$c$不變性是狹義相對論的基礎。麥克斯韋方程應該有一個明顯的不變形式。讓我們介紹這種形式。

電流密度四維向量

電荷守恆方程（連續性方程）是

$\nabla .j+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0$

讓我們引入電流密度四維向量

$J=(j,ic\rho )$

連續性方程現在可以寫成

$\nabla J=0$

它是協變的。

勢四維向量

洛倫茲規範條件:\index{洛倫茲規範}

$\nabla A-{\frac {\partial V}{\partial t}}=0$

表明勢四維向量是

$A=(A,i{\frac {\phi }{c}})$

因此，麥克斯韋勢方程可以用以下協變形式寫成

$\Box A_{\mu }=-\mu _{0}j_{\mu }$

電磁場張量

狹義相對論為電磁學的呈現提供了最優雅的形式：麥克斯韋勢方程可以寫成緊湊的協變形式，但這僅僅是本節的主題，它為我們揭示了電磁場本質的新見解。讓我們證明$E$場和$B$場只是同一物理實體，即電磁場張量的兩個方面。為此，考慮從場中表達勢的方程

$B=\nabla \wedge A$

和

$E=\nabla \phi -{\frac {\partial A}{\partial t}}.$

讓我們引入二階反對稱張量\index{張量 (電磁場)} $F$，定義為

$F_{\mu \nu }={\frac {\partial A_{\nu }}{\partial A_{\mu }}}-{\frac {\partial A_{\mu }}{\partial A_{\nu }}}.$

因此

$F_{\mu \nu }=\left({\begin{array}{cccc}0&B_{3}&-B_{2}&-{\frac {i}{c}}E_{1}\\-B_{3}&0&B_{1}&-{\frac {i}{c}}E_{2}\\B_{2}&-B_{1}&0&-{\frac {i}{c}}E_{3}\\{\frac {i}{c}}E_{1}&{\frac {i}{c}}E_{2}&{\frac {i}{c}}E_{3}&0\\\end{array}}\right)$

麥克斯韋方程可以寫成

$\partial _{\nu }F_{\mu \nu }=\mu _{0}j_{\mu }$

這個方程顯然是協變的。$E$和$B$場只是同一物理實體的組成部分

腳註