數學物理導論/電磁學/電磁感應

引言

電磁感應是指在一個閉合迴路 $C_{2}$ 中，透過法拉第定律，由閉合迴路 $C_{1}$ 中電流產生的磁場感應出的電動勢 (emf)。

電磁感應中涉及的兩個定律是

安培定律（靜態版本）：$\nabla \times B=\mu _{0}j$

法拉第定律：$\nabla \times E=-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

其中 $E$ 和 $B$ 分別是電場和磁場，$j$ 是電流密度，$\mu _{0}$ 是磁導率。

數學預備知識

迴路、多回路和無散度向量場

路徑、迴路和無散度向量場之間的關係是一個重要的數學預備知識，值得簡單介紹。

給定任何定向路徑 $C$，$C$ 可以用向量場 $\delta (r;C)$ 來表徵。對於所有位置 $r\notin C$，$\delta (r;C)=0$。對於所有位置 $r\in C$，$\delta (r;C)$ 在 $C$ 的方向上是無限大的，類似於狄拉克 δ 函式。$\delta (r;C)$ 必須滿足的積分性質是，對於任何定向曲面 $\sigma$，如果 $C$ 在首選方向上總共穿過 $\sigma$ $N$ 次，則

$\iint _{r\in \sigma }\delta (r;C)\bullet dA=N$ ($dA$ 是表示無窮小定向曲面段的向量)

($C$ 在相反方向上穿過 $\sigma$ 會使 $N$ 減少 1。）

給定任何向量場 $F(r)$，$\int _{r\in C}F(r)\bullet dr=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}(F(r)\bullet \delta (r;C))d\tau$ ($dr$ 是一個表示無窮小定向路徑段的向量，而 $d\tau$ 是一個無窮小體積段)

很容易驗證，如果 $C$ 是一個閉合迴路，則 $\nabla \bullet \delta (r;C)=0$

給定任何閉合迴路序列 $C_{1},C_{2},\dots ,C_{k}$，這些迴路可以以線性方式相加，得到一個由向量場 $\delta (r;C_{1})+\delta (r;C_{2})+\dots +\delta (r;C_{k})$ 表示的“多回路”。這個多回路用以下方式表示：$C_{1}+C_{2}+\dots +C_{k}$。

最重要的是，給定任何無散度向量場 $F$，它比 $o(1/|r|^{2})$ 衰減得更快，當 $|r|\rightarrow +\infty$ 時，則存在閉合迴路族 $C[\xi ]$，其中 $\xi \in D_{C}$ 是一個任意的連續索引引數，使得 $F(r)=\iint _{\xi \in D_{C}}\delta (r;C[\xi ])d\xi$。用更簡單的術語來說，任何無散度向量場都可以表示為閉合迴路的線性組合。

曲面、多曲面和無旋向量場

曲面、閉合曲面和無旋向量場之間的關係也是一個重要的數學預備知識，值得簡要介紹。

給定任何有向曲面 $\sigma$，$\sigma$ 可以用向量場 $\delta (r;\sigma )$ 來描述。$\delta (r;\sigma )=0$ 對所有位置 $r\notin \sigma$ 成立。對於所有位置 $r\in \sigma$，$\delta (r;\sigma )$ 在 $\sigma$ 的外法線方向上是無窮大的，這與狄拉克δ函式類似。 $\delta (r;\sigma )$ 必須滿足的積分性質是，對於任何有向路徑 $C$，如果 $C$ 在優選方向上穿過 $\sigma$ 總共 $N$ 次，那麼

$\int _{r\in C}\delta (r;\sigma )\bullet dr=N$

($C$ 在相反方向上穿過 $\sigma$ 會使 $N$ 減少 1。）

給定任何向量場 $F(r)$，$\int _{r\in \sigma }F(r)\bullet dA=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}(F(r)\bullet \delta (r;\sigma ))d\tau$

很容易驗證，如果 $\sigma$ 是一個閉合曲面，那麼 $\delta (r;\sigma )$ 是無旋的。

給定任意曲面序列 $\sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{k}$，這些曲面可以以線性方式相加得到一個稱為“多曲面”的向量場，它用向量場表示 $\delta (r;\sigma _{1})+\delta (r;\sigma _{2})+\dots +\delta (r;\sigma _{k})$。該多曲面表示為：$\sigma _{1}+\sigma _{2}+\dots +\sigma _{k}$。

最重要的是，對於任意無旋向量場 $F$，其衰減速度快於 $o(1/|r|^{2})$，當 $|r|\rightarrow +\infty$ 時，存在一個閉曲面族 $\sigma [\xi ]$，其中 $\xi \in D_{\sigma }$ 是一個任意的連續索引引數，使得 $F(r)=\iint _{\xi \in D_{\sigma }}\delta (r;\sigma [\xi ])d\xi$。簡而言之，任何無旋向量場都可以表示為閉曲面的線性組合。

給定一個定向曲面 $\sigma$，其邊界為逆時針方向的 $C$，則 $\nabla \times \delta (r;\sigma )=\delta (r;C)$。對於任意表示多曲面的向量場 $F$，則 $\nabla \times F$ 是一個向量場，它表示由 $F$ 表示的多曲面的逆時針方向邊界。這一特性很重要，因為它使磁場能夠表示產生它的閉合電流環的多曲面內部。

互感的定義

令 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 為兩個定向閉合迴路，並令 $\sigma _{1}$ 和 $\sigma _{2}$ 為兩個定向曲面，其逆時針邊界分別為 $C_{1}$ 和 $C_{2}$.

給定圍繞 $C_{1}$ 流動的電流為 $I$，設 $B_{1}$ 為安培定律產生的磁場。注意 $B_{1}(r)\propto I$。穿過曲面 $\sigma _{2}$ 的磁通量為

$\Phi _{B,2}=\iint _{r\in \sigma _{2}}B_{1}(r)\bullet dA$ 其中 $dA$ 是 $\sigma _{2}$ 的無窮小表面元素的向量表示。

請注意，$\Phi _{B,2}\propto I$。這個比例常數，$M_{1,2}={\frac {\Phi _{B,2}}{I}}$，是來自 $C_{1}$ 到 $C_{2}$ 的互感。

來自 $C_{1}$ 到 $C_{2}$ 的互感將用 $M(C_{1},C_{2})$ 表示。

自感

當 $C_{2}=C_{1}$ 時，電感 $L(C_{1})=M(C_{1},C_{1})$ 被稱為“自感”。

互感的線性

給定迴路 $C_{1}$，$C_{2}$ 和 $C_{3}$，很容易證明 $M(C_{1}+C_{3},C_{2})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{3},C_{2})$ 以及 $M(C_{1},C_{2}+C_{3})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{1},C_{3})$。

設 $B_{1}(r)$，$B_{2}(r)$ 和 $B_{3}(r)$ 分別為電流 $I$ 流過 $C_{1}$，$C_{2}$ 或 $C_{3}$ 時產生的磁場。

由於麥克斯韋方程的線性，$C_{1}$ 和 $C_{3}$ 共同產生的磁場為 $B_{1}(r)+B_{3}(r)$。這導致 $M(C_{1}+C_{3},C_{2})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{3},C_{2})$。

透過 $C_{2}+C_{3}$ 的磁通量是透過 $C_{2}$ 和 $C_{3}$ 分別產生的磁通量的總和。這導致 $M(C_{1},C_{2}+C_{3})=M(C_{1},C_{2})+M(C_{1},C_{3})$。

互感的對稱性

假設存在兩個閉合迴路 $C_{1}$ 和 $C_{2}$，則 $M(C_{1},C_{2})=M(C_{2},C_{1})$。這種對稱性雖然從互感係數的顯式公式中可以看出，但並不直觀。為了使這個事實更直觀，由 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 生成的磁場將被解釋為多曲面，它們的邊界分別是 $C_{1}$ 和 $C_{2}$。

假設在閉合迴路 $C_{1}$ 中存在電流 $I$，並用 $B_{1}(r)$ 表示由此產生的磁場。安培定律要求 $\nabla \times B_{1}(r)=\mu _{0}I\delta (r;C_{1})\implies \nabla \times {\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {B_{1}(r)}{I}}=\delta (r;C_{1})$，因此 ${\frac {1}{\mu _{0}}}{\frac {B_{1}(r)}{I}}$ 是一個邊界為 $C_{1}$ 的多曲面。由於 $B_{1}(r)\propto I$，令 $b_{1}(r)={\frac {B_{1}(r)}{I}}$。

給定無散度向量場 $F$，$F$ 穿過 $\sigma _{1}$ 的通量為

$\iint _{r\in \sigma _{1}}F(r)\bullet dA=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}F(r)\bullet \delta (r;\sigma _{1})d\tau =\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}F(r)\bullet {\frac {b_{1}(r)}{\mu _{0}}}d\tau$

最後一個等式成立是因為 $F$ 是無散度的，並且 $\delta (r;\sigma _{1})$ 和 ${\frac {b_{1}(r)}{\mu _{0}}}$ 是具有共同邊界 $C_{1}$ 的多曲面。

$B_{1}(r)$ 是無散度的。$B_{1}(r)$ 穿過 $\sigma _{2}$ 的通量為

$\Phi _{B,2}=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}I{\frac {b_{1}(r)\bullet b_{2}(r)}{\mu _{0}}}d\tau$

因此：$M(C_{1},C_{2})=\iiint _{r\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {b_{1}(r)\bullet b_{2}(r)}{\mu _{0}}}d\tau$，由此可以明顯看出對稱性$M(C_{1},C_{2})=M(C_{2},C_{1})$。

計算互感

方法 1（使用向量勢）

磁場的高斯定律要求$\nabla \bullet B=0$。這使得$B$ 的“向量勢”成為可能：一個滿足$\nabla \times A=B$ 的向量場$A$。條件$\nabla \bullet A=0$ 也可以強制執行。

使用向量恆等式

對於任何向量場$F$：$\nabla \times (\nabla \times F)=\nabla (\nabla \bullet F)-\nabla ^{2}F$

安培定律變為

$\nabla \times B=\mu _{0}j\iff \nabla \times (\nabla \times A)=\mu _{0}j\iff \nabla (\nabla \bullet A)-\nabla ^{2}A=\mu _{0}j\iff \nabla ^{2}A=-\mu _{0}j$

$\nabla ^{2}A=-\mu _{0}j$ 是泊松方程的一個特例，其解為：$A(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{r'\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {j(r')}{|r-r'|}}d\tau '$

可以驗證，對於此解，由於 $\nabla \bullet j=0$，所以 $\nabla \bullet A=0$.

流經閉合迴路 $C_{1}$ 的電流為 $I$ 生成的矢勢為：$A_{1}(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iiint _{r_{1}\in \mathbb {R} ^{3}}{\frac {I\delta (r_{1};C_{1})}{|r-r_{1}|}}d\tau _{1}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{r_{1}\in C_{1}}{\frac {I}{|r-r_{1}|}}dr_{1}$

流經閉合迴路 $C_{1}$ 的電流為 $I$ 生成的磁場為：$B_{1}=\nabla \times A_{1}$。穿過曲面 $\sigma _{2}$（由 $C_{2}$ 逆時針包圍）的磁通量為

$\Phi _{B,2}=\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}B_{1}(r_{2})\bullet dA_{2}=\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}(\nabla \times A_{1})(r_{2})\bullet dA_{2}=\int _{r_{2}\in C_{2}}A_{1}(r_{2})\bullet dr_{2}$，利用斯托克斯定理。

$\Phi _{B,2}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{r_{2}\in C_{2}}\int _{r_{1}\in C_{1}}{\frac {I}{|r_{2}-r_{1}|}}(dr_{1}\bullet dr_{2})$ 因此，互感為：$M(C_{1},C_{2})={\frac {\Phi _{B,2}}{I}}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{r_{2}\in C_{2}}\int _{r_{1}\in C_{1}}{\frac {dr_{1}\bullet dr_{2}}{|r_{2}-r_{1}|}}$

該方程被稱為“諾伊曼公式”.

從該表示式還可以看出，互感是對稱的：$M(C_{1},C_{2})=M(C_{2},C_{1})$.

方法 #2 (利用線性性和迴路偶極子)

對於任何閉合迴路$C$，令 $\sigma$ 為一個方向為逆時針方向的表面，且該表面以 $C$ 為其邊界。對於 $\sigma$ 的每個無窮小的面積向量元素 $dA$，令無窮小的 $\partial (dA)$ 為一個無窮小的閉合迴路，該回路以 $dA$ 為其逆時針邊界。那麼 $C=\int _{r\in \sigma }\partial (dA)$.

互感的線性性表明

$M(C_{1},C_{2})=M\left(\iint _{r_{1}\in \sigma _{1}}\partial (dA_{1}),\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}\partial (dA_{2})\right)=\iint _{r_{1}\in \sigma _{1}}\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}M(\partial (dA_{1}),\partial (dA_{2}))$

換句話說，兩個大回路之間的互感可以表示為幾個小回路之間的互感之和。

給定一個面積向量 $A$，以及圍繞 $A$ 邊界以逆時針方向流動的電流 $I$，則形成的磁偶極子（向量）為 $P=IA$。如果面積縮小，則如果磁偶極子要保持不變，電流會按比例增加。

給定一個位於位置 $0$，具有無窮小面積的磁偶極子 $P$，由 $P$產生的磁場為

$B(r)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3(P\bullet r)r}{|r|^{5}}}-{\frac {P}{|r|^{3}}}\right)$

設 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 為兩個無窮小回路內部的面積向量，第二個迴路相對於第一個迴路偏移了 $r$。 設電流 $I$ 以逆時針方向流經 $a_{1}$ 的邊界，形成偶極子 $Ia_{1}$。 $Ia_{1}$ 生成的磁場透過 $a_{2}$ 的磁通量為

$\Phi _{B,2}={\frac {\mu _{0}I}{4\pi }}\left({\frac {3(a_{1}\bullet r)(a_{2}\bullet r)}{|r|^{5}}}-{\frac {a_{1}\bullet a_{2}}{|r|^{3}}}\right)$

因此，如果 $c_{1}$ 和 $c_{2}$ 是 $a_{1}$ 和 $a_{2}$ 的逆時針邊界

$M(c_{1},c_{2})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {3(a_{1}\bullet r)(a_{2}\bullet r)}{|r|^{5}}}-{\frac {a_{1}\bullet a_{2}}{|r|^{3}}}\right)$

回到計算 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 之間的互感，得到

$M(C_{1},C_{2})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\iint _{r_{1}\in \sigma _{1}}\iint _{r_{2}\in \sigma _{2}}\left({\frac {3(dA_{1}\bullet (r_{2}-r_{1}))(dA_{2}\bullet (r_{2}-r_{1}))}{|r_{2}-r_{1}|^{5}}}-{\frac {dA_{1}\bullet dA_{2}}{|r_{2}-r_{1}|^{3}}}\right)$

該公式以表面積分而不是迴路積分為中心。