數學物理導論/電磁學/電磁相互作用

電磁力

電磁學的假設必須由另一個關於相互作用的假設來補充

假設

對於電荷為 $q$ 的帶電粒子，施加在這個粒子上的電磁力為

$f=qE+qv\wedge B$

其中 $qE$ 是電力（或庫侖力）\index{庫侖力}，而 $qv\wedge B$ 是洛倫茲力。\index{洛倫茲力}

這個結果可以使用坡印廷向量推廣到連續介質。\index{坡印廷向量}

secenergemag

電磁能量，坡印廷向量

之前的使用力的假設可以用一個使用能量的“對偶”假設來代替

假設

考慮一個體積為 $V$ 的區域。向量 $P=E\wedge H$ 稱為坡印廷向量。假設向量 $P$ 穿過包圍體積為 $V$ 的表面 $S$ 的通量，該表面由進入法線定向，等於傳遞給該體積的電磁功率 ${\mathcal {P}}$。

使用格林定理， ${\mathcal {P}}$ 可以寫成

${\mathcal {P}}=\int \!\!\!\int E\wedge Hnds=-\int \!\!\!\int \!\!\!\int {\mbox{ div }}(E\wedge H)d\tau$

使用麥克斯韋方程，得到

${\mathcal {P}}=\int \!\!\!\int \!\!\!\int H{\frac {\partial B}{\partial t}}+E.j+E{\frac {\partial D}{\partial t}}d\tau$

最後兩個假設密切相關。事實上，我們現在將證明它們基本上表達了相同的意思（即使坡印廷向量形式可以被認為更一般）。

考慮一個點電荷 $q$ 處在一個場 $E$ 中。讓我們將這個電荷移動 $dr$。之前的假設指出，這種位移對應著內能的變化。

$\delta U=\int E\delta Dd\tau$

其中 $dD$ 是由電荷位移引起的 $D$ 的變化。

定理

內能變化是

$\delta U=-f\delta r$

其中 $f$ 是作用在電荷上的電場力。

證明

在靜態情況下，$E$ 場具有保守環路 (${\mbox{ rot }}E=0$)，因此它來自一個勢能。\medskip 讓我們寫下能量守恆方程

$\delta U=\int E\delta Dd\tau$

$\delta U=\int -{\mbox{ grad }}(V)\delta Dd\tau$

$\delta U=\int V{\mbox{ div }}(\delta D)d\tau -\int {\mbox{ div }}(V\delta D)d\tau$

與 $V\delta D$ 的散度相關的流在整個空間中都為零，實際上 $D$ 隨著 $1/r^{2}$ 遞減，而 $V$ 隨著 $1/r$ 遞減，表面積隨著 $r^{2}$ 增加。因此

$\delta U=\int V\delta \rho d\tau$

讓我們將電荷移動 $\delta r$。電荷分佈從 $q\delta (r)$ 變為 $q\delta (r+dr)$，其中 $\delta (r)$ 是狄拉克分佈。因此，我們有 $d\rho (r)=q(\delta (r+\delta r)-\delta (r))$。

,

因此，

因此

$\delta U=qV(r+\delta r)-qV(r)$

$\delta U={\mbox{ grad }}(qV)\delta r$

變化最終為 $\delta U=-fdr$。此外，我們證明了

$f=-{\mbox{ grad }}(qV)=qE$