數學物理/電磁學/光學導論，電磁學的特例

secWKB

Eikonal 方程，傳輸方程

WKB（Wentzel-Kramers-Brillouin）方法\index{WKB 方法} 用於展示電磁學（亥姆霍茲方程）如何蘊含幾何和物理光學。讓我們考慮亥姆霍茲方程：

eqhelmwkb

\Delta E+k^{2}(x)E=0

如果 $k(x)$ 是一個常數 $k_{0}$ 則 eqhelmwkb 的解是

E=ce^{-jk_{0}x}

方程 eqhelmwkb 的一般解為

E=a(x)e^{-jk_{0}L(x)}

這是常數變異法。讓我們使用 $n(x)$ 作為光學指標\index{光學指標} 來寫亥姆霍茲方程\index{亥姆霍茲方程}。

\Delta E+k_{0}^{2}n^{2}(x)E=0

其中 $n=v_{0}/v$ 。讓我們使用以下展開式來展開 $E$ （見（[#References|references]))

E(x)=e^{jk_{0}[S_{0}+{\frac {S_{1}}{jk_{0}}}+\dots ]}

其中 ${\frac {1}{jk_{0}}}$ 是展開式的小變數（它對應於小波長）。將 $k_{0}^{2}$ 的項進行相等，得到 *Eikonal 方程*

}\index{Eikonal 方程}

\partial _{i}S_{0}\partial _{i}S_{0}=n^{2}

也可以寫成

{\mbox{ grad }}^{2}S_{0}=n^{2}.

有人說我們使用了“幾何近似”\footnote{ 費馬原理可以從圖示方程推匯出來。實際上，費馬原理只是圖示方程的變分形式。} 。如果擴充套件只限於這一階，它就不是 $E$ 的漸進展開（見（[#References|參考文獻]））。指數的精度不夠高：如果忽略了 $S_{1}$ ，則忽略了波的相位。對於 $k_{0}$ 中的項

\partial _{i}\partial _{i}S_{0}+2\partial _{i}S_{0}\partial _{i}S_{1}=0

這個方程被稱為輸運方程。\index{輸運方程} 我們已經完成了物理上的“光學近似”。現在我們有了 $E$ 的漸進展開。

secFermat

幾何光學，費馬原理

幾何光學定律可以用變分形式表示\index{費馬原理} ，透過費馬原理（見（[#References|參考文獻]））

原理： 費馬原理：光線所遵循的軌跡使路徑積分最小化

L=\int n({\vec {r}})ds

其中 $n(r)$ 是所考慮介質的光學指標。\index{光學指標} 函式 $L$ 被稱為光程。\index{光程

}

費馬原理允許將光線方程\index{光線方程} 作為麥克斯韋方程的結果推匯出來

定理： 光線軌跡方程是

{\frac {d}{ds}}(n{\frac {dr}{ds}})={\mbox{ grad }}n.

證明： 讓我們用某個 $t$ 變數對光程進行引數化

L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}n({\vec {r}}){\frac {ds}{dt}}dt

設

M({\dot {\vec {r}}})={\frac {ds}{dt}}

得到

L({\vec {r}})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}n({\vec {r}})M({\dot {\vec {r}}})dt.

因此，光程 $L$ 可以寫成

L=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F({\vec {r}},{\dot {\vec {r}}})dt

讓我們計算 $L$ 的變分

0=L({\vec {r}}+{\vec {u}})-L({\vec {r}})=\int _{t_{1}}^{t_{2}}({\frac {\partial n}{\partial {\vec {r}}}}M({\dot {\vec {r}}}){\vec {u}}+n({\vec {r}}){\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}{\dot {\vec {u}}})dt

將第二項按部分積分

\int _{t_{1}}^{t_{2}}n({\vec {r}}){\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}{\dot {\vec {u}}}dt=[]+{\frac {d}{dt}}({\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}){\vec {u}}

現在我們有：\footnote{事實上

M({\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}

以及

{\frac {\partial M}{\partial {\dot {x}}}}={\frac {\dot {x}}{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}}}}={\frac {dx}{ds}}

}

{\frac {\partial M}{\partial {\dot {\vec {r}}}}}={\frac {d{\vec {r}}}{ds}}

以及

{\frac {d}{dt}}={M({\dot {\vec {r}}})}{\frac {1}{ds}}

因此

{\frac {d}{ds}}(n{\frac {dr}{ds}})={\mbox{ grad }}n

這是光線方程。

備註

斯涅爾-笛卡爾定律\index{斯涅爾-笛卡爾定律} 可以從費馬原理推匯出。考慮空間被一個表面 $S$ 分成兩部分； $S$ 上方部分的折射率為 $n_{1}$ ，下方部分的折射率為 $n_{2}$ 。令 $I$ 為 $S$ 上的一點。考慮 $A_{1}$ 為介質 $1$ 中的一點，而 $A_{2}$ 為介質 $2$ 中的一點。讓我們引入光程\footnote{在每個介質 $1$ 和 $2$ 中，費馬原理的應用表明光線以直線形式傳播。}.