數學物理導論/連續介質中的能量/廣義彈性

介紹

在本節中，將介紹彈效能量的概念。\index{elasticity} 彈效能量的概念允許輕鬆推匯出“應變-變形”關係。\index{strain--deformation relation} 所以，在用虛功法對物質進行建模時 \index{virtual powers} 引入了一個與位移相關的功率函式。\index{virtual powers} 特別考慮質量為 $m$ 的物體，它連線到彈性係數為 $k$ 的彈簧上。系統的變形用彈簧相對於平衡位置的伸長量 $x$ 來表示。與位移 $dx$ 相關的虛功 \index{virtual work} 為

deltWfdx

\delta W=f.dx

量 $f$ 代表約束，這裡是一個力，而 $x$ 是變形。如果力 $f$ 是保守的，那麼已知基本功（由外部提供）是勢能函式或內能 $U$ 的全微分：

eqdeltaWdU

\delta W=-dU

一般情況下，力 $f$ 依賴於變形。關係 $f=f(x)$ 因此是一個約束-變形關係 。

找到應變-變形關係最自然的方法如下。人們利用問題的物理特性和對稱性來尋找 $U$ 作為變形函式的表示式。在振子的特殊情況下，內能必須只依賴於到平衡位置的距離 $x$ 。如果 $U$ 在 $x=0$ 處存在展開式，那麼在平衡位置的鄰域內， $U$ 可以近似為

U(x)=a_{0}+a_{1}x^{1}+a_{2}x^{2}+O(x^{2})

由於 $x=0$ 是一個平衡位置，我們在 $x=0$ 處有 $dU=0$ 。這意味著 $a_{1}$ 為零。因此，在平衡點附近，曲線 $U(x)$ 呈現拋物線形狀（參見圖 figparabe

figparabe

在穩定平衡位置 $x_{0}$ 附近，內能函式 $U$ 作為平衡位置差的函式呈現拋物線輪廓。

由於

dU=-fdx

應力-應變關係變為

f={\frac {dU}{dx}}

振盪器鏈

考慮一個由 $N$ 個彈簧常數為 $k_{ij}$ 的彈簧連線的、一維的振盪器鏈。該系統在圖 figchaineosc 中表示。每個振盪器用它相對於平衡位置的位置差 $x_{i}$ 來標記。根據牛頓運動定律的計算意味著

U=\sum {\frac {1}{2}}k_{ij}(x_{i}-x_{j-1})^{2}

figchaineosc

使用虛功原理的計算將是斷言：總的彈性勢能通常是 $U(x_{1},\dots ,x_{N})<math>ofthedifferences$ x_i</math> 到平衡位置的差的函式。由於力是保守的，因此該微分是全微分\footnote{正如下一節將展示的那樣，在彈性理論中，這個假設是最難證明的}。因此，在平衡時：\index{equilibrium}

dU=0

如果 $U$ 允許泰勒展開：

eqdevliUch

U(x_{1}=0,\dots x_{N}=0)=a+a_{i}x_{i}+a_{ij}x_{i}x_{j}+O(x^{2})

在最後一個等式中，使用了重複索引求和約定。定義內能的微分為

dU=f_{i}dx_{i}

得到

f_{i}={\frac {\partial U}{\partial x_{i}}}.

使用公式 eqdevliUch 給出的 $U$ 表示式可以得到

f_{i}=a_{ij}x_{j}.

但是在這裡，由於互動作用只發生在最近鄰之間，變數 $x_{i}$ 不是正確的熱力學變數。讓我們選擇由下式定義的變數 $\epsilon _{i}$ 作為熱力學變數：

\epsilon _{i}=x_{i}-x_{i-1}.

$U$ 的微分變為

dU=F_{i}d\epsilon _{i}

假設 $U$ 在平衡位置附近存在泰勒展開

U=b+b_{i}\epsilon _{i}+b_{ij}\epsilon _{i}\epsilon _{j}+O(\epsilon ^{2})

以及平衡時 $dU=0$ ，可以得到

F_{i}=b_{ij}\epsilon _{j}

由於互動作用只發生在最近鄰之間

b_{ij}=0{\mbox{ si }}i\neq j\pm 1

所以

F_{i}=b_{ii}\epsilon _{i}+b_{ii+1}\epsilon _{i+1}

這對應於作用在質量 $i$ 上的力的表示式

F_{i}=-k(x_{i}-x_{i-1})-k(x_{i+1}-x_{i})

如果設定 $k=-b_{ii}=-b_{ii+1}$ .

secmaterelast

三維彈性材料

考慮一個系統 $S$ 在狀態 $S_{X}$ 中，該狀態是從狀態 $S_{0}$ 變形而來的。每個粒子位置用向量 $a$ 在狀態 $S_{0}$ 中表示，用向量 $x$ 在狀態 $S_{X}$ 中表示。

x=a+X

向量 $X$ 代表變形。

備註

這種模型可以用來描述流體和固體。

考慮 $X$ 始終“很小”的情況。這種假設稱為小擾動假設（SPH）。內能被視為函式 $U(X)$ .

定義： SPH 變形張量是 $X$ 的張量梯度的對稱部分。

\epsilon _{ij}={\frac {1}{2}}(X_{i,j}-X_{j,i})

在 secpuisvirtu 一節中，我們已經看到，此處所考慮問題的容許內應變的功率為

P_{i}=\int K_{ij}^{s}u_{i,j}^{s}d\tau

其中

dU=-P_{i}dt

張量 $u_{i,j}^{s}$ 被稱為變形率張量。它是張量 $u_{i,j}$ 的對稱部分。在 SPH 假設框架下，變形率張量僅僅是 SPH 變形張量的時間導數，這一點可以在 [ph:fluid:Germain80] 中得到證明。

u_{i,j}^{s}={\frac {d\epsilon _{ij}}{dt}}

因此：

dukij

dU=-\int K_{ij}^{s}d\epsilon _{ij}d\tau .

因此，函式 $U$ 可以被視為函式 $U(\epsilon _{ij})$ 。更準確地說，我們尋找可以寫成以下形式的函式 $U$ ：

U=\int \rho e_{l}d\tau

其中 $e_{l}$ 是內能密度，其在平衡位置附近的泰勒展開式為：

eqrhoel

\rho e_{l}=a+a_{ij}\epsilon _{ij}+a_{ijkl}\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}

我們有\footnote{

footdensi

實際上

{\frac {d}{dt}}U={\frac {d}{dt}}\int \rho e_{l}d\tau

並且根據粒子導數的性質

{\frac {d}{dt}}\int \rho e_{l}d\tau =\int {\frac {d}{dt}}(\rho e_{l}d\tau )

現在，

{\frac {d}{dt}}(\rho e_{l}d\tau )=e_{l}{\frac {d}{dt}}(\rho d\tau )+\rho d\tau {\frac {d}{dt}}e_{l}

根據質量守恆定律

{\frac {d}{dt}}\rho =0

}

eqdudt

{\frac {dU}{dt}}=\int \rho ({\frac {d}{dt}}e_{l})d\tau

因此

dU=\int \rho de_{l}d\tau

使用表示式 eqrhoel 的 $e_{l}$ 並假設 $dU$ 在平衡狀態下為零，我們有

dU=\int \rho [a_{ijkl}\epsilon _{ij}d\epsilon _{kl}+a_{ijkl}d\epsilon _{ij}\epsilon _{kl}]d\tau

因此

dU=\int \rho b_{ijkl}\epsilon _{kl}d\epsilon _{ij}d\tau

其中 $b_{ijkl}=a_{ijkl}+a_{klij}$ 。與方程 dukij 比較，得到以下應變-變形關係

K_{ij}^{s}=b_{ijkl}\epsilon _{kl}

這是一個廣義的胡克定律\index{胡克定律}。 $b_{ijkl}$ 是彈性係數。

注意：對腳註 footdensi 的計算表明，前一部分 secchampdslamat 中的計算應該處理體積能量密度。

secenernema

向列相材料

向列相材料\index{向列相} 是一種材料 [ph:liqcr:DeGennes74]，其狀態可以用向量場\footnote{近晶相材料的狀態可以用函式 $u(x,y)$ 定義。} $n$ 定義。該場與材料中分子取向有關（參見圖 figchampnema）

figchampnema

向列相材料中每個分子的方向可以用一個向量 $n$ 來描述。在連續模型中，這將產生一個向量場 $n$ 。向列相材料的內能是向量場 $n$ 及其偏導數的函式。

讓我們尋找一個內能 $U$ ，它依賴於 $n$ 場的梯度。

U=\int ud\tau

其中

u=u_{1}(\partial _{i}n_{j})+u_{2}(n_{i}\partial _{j}n_{k})+u_{3}(\partial _{i}n_{j}\partial _{k}n_{l})+u_{4}(n_{p}n_{q}\partial _{i}n_{j}\partial _{k}n_{l})+\dots

$u_{1}$ 對導數的線性依賴的最一般形式是：

eqsansder

u_{1}(\partial _{i}n_{j})=K_{ij}\partial _{i}n_{j}

其中 $K_{ij}$ 是一個二階張量，它依賴於 $r$ 。讓我們考慮對稱性如何簡化這種形式。

旋轉不變性。泛函 $u_{1}$ 應該是旋轉不變的。

u_{1}(\partial _{i}n_{j})=u_{1}(R_{ik}R_{jl}\partial _{k}n_{l})

其中 $R_{mn}$ 是正交變換（旋轉）。因此我們有條件

K_{ij}=R_{ik}R_{jl}K_{kl},

也就是說，張量 $K_{ij}$ 必須是各向同性的。已知在三維空間中唯一的二階各向同性張量是 $\delta _{ij}$ ，即單位矩陣。所以 $u_{1}$ 總是可以寫成

u_{1}=k_{0}{\mbox{ div }}n

在變換 $n$ 對映到 $-n$ 下的不變性。畸變能與 $n$ 的方向無關，也就是說 $u_{1}(n)=u_{1}(-n)$ 。這意味著常數 $k_{0}$ 在前面的等式中為零。

因此，不存在以方程式 eqsansder 給出的形式存在的能量。這使得我們必須考慮下一個可能的項 $u_{2}$ 。 $u_{2}$ 的一般形式是

u_{2}=L_{ijk}n_{k}\partial _{i}n_{j}

讓我們看看對稱性如何簡化這個表示式。

在變換 $n$ 對映到 $-n$ 下的不變性。這個不變性條件在 $u_{2}$ 中得到很好的滿足。
旋轉不變性。旋轉不變性條件意味著
$L_{ijk}=R_{il}R_{jm}R_{kn}L_{lmn}$
已知在 $R^{3}$ 中不存在任何三階各向同性張量，但存在一個三階各向同性偽張量：符號偽張量 $e_{jkl}$ （見附錄 secformultens）。這使得我們得到表示式

u_{2}=k_{1}e_{ijk}n_{k}\partial _{i}n_{j}=k_{1}n{\mbox{ rot }}n.

{\bf 能量相對於軸變換的 $x\rightarrow -x$ , $y\rightarrow -y$ , $z\rightarrow -z$ 的不變性。} 向列晶體的能量具有這種不變性性質\footnote{ 膽甾型液晶不滿足這個條件。} 。由於 $e_{ijk}$ 是一個偽張量，它在這樣的變換下會改變符號。