數學物理導論/連續介質中的能量/導論

熱力學第一定律（參見章節secpremierprinci）允許將內能變化與內應力功率\index{strains}聯絡起來。

${\frac {dU}{dt}}={\dot {Q}}-P_{i}$

如果假設熱流為零，則內能變化為

$dU=-P_{i}dt$

此關係允許將機械應力（$P_{i}$項）與系統的熱力學性質（$dU$項）聯絡起來。在對系統進行建模時，會選擇一些“熱力學”變數$X$。它們可以是標量$x$、向量$x_{i}$、張量$x_{ij}$，…微分$dU$可以使用這些熱力學變數$X$透過一個可以象徵性地寫成的關係來自然地表達

$dU=FdX$

其中$F$是共軛的\footnote{這是在處理功率時，應力和速度及其梯度之間注意到的相同對偶關係。}

thermodynamical variable of variable

$X$。通常，人們尋求將$F$表示為$X$的函式。

備註

如果$X$是標量$x$，則能量微分是

$dU=f.dx$

如果$X$是向量$x_{i}$，則能量微分是

$dU=f_{i}dx_{i}$

如果 $X$ 是一個張量 $x_{ij}$，則能量微分是

$dU=f_{ij}dx_{ij}$

備註

如果位移 $x$ 被視為熱力學變數，則其共軛變數 $f$ 的量綱為力。

備註

可以使用勒讓德變換（參見章節 secmaxient 和 ([#References），從使用變數 $X$ 作為熱力學變數的描述，轉變到使用 $X$ 的共軛變數 $F$ 作為熱力學變數的描述。

下一步是，利用物理論證，找到內能 $U(X)$ \index{internal energy} **關於**熱力學變數 $X$ 的一個**表示式**。關係 $F(X)$ 是透過對 $U$ 關於 $X$ 求偏導數得到的，符號表示為

$F(X)={\frac {\partial U}{\partial X}}$

本章介紹了這種建模方法的幾個例子。