數學物理導論/連續介質中的能量/其他現象

secpiezo

壓電效應

在研究壓電效應（[#References|參考文獻]）時，選擇$\sigma _{ij}$的形式為

$\sigma _{ij}=\lambda _{ijkl}u_{kl}+\gamma _{ijk}E_{k}$

張量$\gamma _{ijk}$反映了電場變數$E_{i}$和$F$表示式中存在的變形變數之間的耦合。

$F=F_{0}+\epsilon _{ij}E_{i}E_{j}+{\frac {1}{2}}\lambda _{ijkl}u_{ij}u_{kl}+\gamma _{ijk}E_{i}u_{jk}.$

$D_{i}$的表示式變為

$D_{i}=\left.{\frac {\partial F}{\partial E_{i}}}\right)_{u_{fixed},T_{fixed}}$

所以

$D_{i}=\epsilon _{ij}E_{j}+\gamma _{ijk}u_{jk}$

粘度

當應變取決於變形速度時，材料被稱為粘性的\index{粘度}。在線性粘彈性理論（[#References|參考文獻]）中，採用以下應變-變形關係

$\sigma _{ij}=a_{ijkl}u_{kl}+b_{ijkl}{\frac {\partial u_{kl}}{\partial t}}$

符合這種規律的材料被稱為**短記憶材料**\index{memory}，因為約束在時間 $t$ 的狀態只取決於此時刻的變形以及無限接近時間 $t$ 的時刻的變形（正如時間導數的泰勒展開所暗示的）。張量 $a$ 和 $b$ 分別扮演彈性係數和粘度係數的角色。如果應變-變形關係被選為：

eqmatmem

$\sigma _{ij}=a_{ijkl}u_{kl}+\int _{0}^{t}b_{ijkl}(t-s)u_{kl}(s)ds,$

那麼這種材料被稱為長記憶材料，因為約束在時間 $t$ 的狀態不僅取決於時間 $t$ 的變形，還取決於時間 $t$ 之前時刻的變形。第一項表示瞬時彈性效應。第二項解釋了記憶效應。

備註：這些材料屬於 ([#References

備註

在分佈理論框架下，時間導數可以被看作是狄拉克分佈導數的卷積。例如，時間導數可以用與 $\delta '(t)$ 的卷積來表示。這允許將這種情況視為方程式 eqmatmem 給出的公式的特例。