數學物理學導論/群論

定義

在經典力學中，\index{group} 平移和旋轉不變性對應於動量和角動量守恆。諾特定理允許將拉格朗日函式的對稱性和守恆定律聯絡起來。本附錄介紹了對稱性這一直觀概念的數學基礎理論。

定義

一個群是由一組元素 $G=\{g_{1},g_{2},\dots \}$ 和一個組合定律 $.$ 組成，該定律將任何有序對 $(g_{1},g_{2})\in G$ 對映到 $G$ 中的一個元素 $g_{1}.g_{2}$ 。組合定律 $.$ 是

結合性的
$g_{1}.(g_{2}.g_{3})=(g_{1}.g_{2}).g_{3}$
具有單位元素 $e$
$g.e=e.g=e$
對於每個 $g$ 的 $G$ ，存在 $G$ 中的一個元素 $g^{-1}$ 使得
$g.g^{-1}=g^{-1}.g=e$

定義

群的階是指 $G$ 中元素的數量。

表示

為了更深入地研究群表示論，建議讀者參考大量的文獻（例如，參見 ([#References|參考文獻])）。

定義

一個群 $G$ 在向量空間 $V$ 上的 $K=R$ 或 $K=C$ 的一個表示，是一個從 $G$ 到群 $GL(V)$ \footnote{ $GL(V)$ 是從 $V$ 到 $V$ 的線性對映空間。它是關於函式複合法則的一個群。} {\it i.e }一個對映

{\begin{array}{llll}\Pi :&G&\longrightarrow &GL(V)\\&g&\longrightarrow &\Pi (g)\end{array}}

其中

\Pi (g_{1}.g_{2})=\Pi (g_{1}).\Pi (g_{2})

定義

令 $(V,\Pi )$ 為 $G$ 的一個表示。如果 $V$ 的向量子空間 $W$ 在 $\Pi$ 的作用下是穩定的，那麼

\forall g\in G,\Pi (g).W\subset V.

然後，我們可以在 $W$ 中得到 $G$ 的一個表示，稱為 $\Pi$ 的子表示。

定義

群 $G$ 的一個表示 $(V,\Pi )$ 被稱為 *不可約* 的，如果它除了 $0$ 和自身以外，沒有其他子表示。

考慮一個對稱群 $G$ 。讓我們考慮一些向量空間 $V$ 的經典例子。令 ${\mathcal {R}}$ 是 $G$ 的一個元素。

示例:

exampgroupR

令 $G$ 是空間 $R^{3}$ 的變換 ${\mathcal {r}}$ 的一個群。 $G$ 在 $V=R^{3}$ 中的一個表示 $\Pi _{1}$ 可以簡單地定義為

{\begin{array}{llll}\Pi _{1}({\mathcal {r}}):&R^{3}&\longrightarrow &R^{3}\\&{\vec {x}}&\longrightarrow &{\vec {x}}'={\mathcal {R}}({\vec {x}})\end{array}}

對於群 $G$ 中的每一個元素 ${\mathcal {r}}$ ，都關聯著 $R^{3}$ 上的一個對映 ${\mathcal {R}}$ 。這個對映可以透過一個矩陣 $M$ 來定義，這個矩陣被稱為對稱運算子 ${\mathcal {r}}$ 的表示矩陣。

示例

讓我們考慮 $NH_{3}$ 分子，其對稱性為 $C_{3}$ 。該群的特徵對稱操作有：

三個反射 $\sigma _{1}$ ， $\sigma _{2}$ 和 $\sigma _{3}$ 。
圍繞 $C_{3}$ 軸的兩個旋轉，旋轉角分別為 ${\frac {2\pi }{3}}$ 和 ${\frac {4\pi }{3}}$ ，分別記為 $C_{3}^{1}$ 和 $C_{3}^{2}$ 。
旋轉角為 ${\frac {6\pi }{3}}$ 的旋轉為恆等操作，記為 $E$ 。

在 $R^{3}$ 的任何基中，群對稱運算子的表示矩陣通常不是塊對角化的。

三維空間可以分成兩個不變子空間：一個由 $E_{1}$ 軸的向量張成的一維空間，以及垂直於該向量的平面 $E_{3}$ 。在化學書籍中， $E_{1}$ 上的表示稱為 $A$ ，而 $E_{2}$ 上的表示稱為 $E$ 。它們都是不可約的。

備註

為了研究分子的振動，我們不應考慮歐幾里得空間 $R^{3}$ 作為狀態空間，而應該考慮自由度 $q_{i}$ 的空間，其中 $q_{i}$ 是系統的自由度。可以使用對稱性考慮來解決耦合矩陣問題對角化的問題。實際上，一個振動系統在對稱性 $G$ 下是不變的，這意味著它的能量在 $G$ 下也是不變的。

\forall g\in G,\forall x\in V,<M^{+}(g)x|KM(g)x>=<x|Kx>

矩陣 $M(g)$ 是正交的，動能也是不變的。

考慮以下定理

定理：

theosymde

如果算符 $A$ 在 $R$ 下是不變的，即 $\rho _{R}A=A$ 或 $RAR^{-1}=A$ ，如果 $\phi$ 是 $A$ 的特徵向量，則 $R\phi$ 也是 $A$ 的特徵向量。

證明

為了證明這個定理，我們只需要評估 $A$ 對 $R\phi$ 的作用即可。

先前定理允許我們預測特徵向量及其簡併度。

示例

考慮在示例 exampgroupR 中引入的群 $G$ 。 $\Pi _{2}$ 是 $G$ 在可平方和空間 $L^{2}$ 上的表示，可以定義為

{\begin{array}{llll}\Pi _{2}({\mathcal {r}}):&L^{2}(R^{3})&\longrightarrow &L^{2}(R^{3})\\&f(x)&\longrightarrow &Rf(x)=f({\mathcal {R}}^{-1}({\vec {x}}))\end{array}}

其中 ${\mathcal {R}}=\Pi _{1}({\mathcal {r}})$ 是變換 ${\mathcal {r}}$ （ $G$ 的元素）的矩陣表示。如果 $\phi _{i}$ 是 $L^{2}(R^{3})$ 的基底，那麼我們有 $R\phi _{i}=D_{ki}\phi _{i}$ 。

示例

考慮在示例 exampgroupR 中引入的群 $G$ 。 $\Pi _{3}$ 是 $G$ 在 $L^{2}$ 線性運算元的空間上的表示，可以定義為

{\begin{array}{llll}\Pi _{3}({\mathcal {r}}):&{\mathcal {L}}(L^{2}(R^{3}))&\longrightarrow &{\mathcal {L}}(L^{2}(R^{3}))\\&A&\longrightarrow &\rho _{A}=RAR^{-1}\end{array}}

其中 $R=\Pi _{2}({\mathcal {r}})$ 是變換 ${\mathcal {r}}$ 的矩陣表示，在之前的示例中定義，它是 $G$ 的元素，而 $A$ 是定義運算元的矩陣

相對於 $R^{3}$ 旋轉群，可以定義標量、向量和張量運算元。

定義

一個標量運算元 $S$ 在旋轉下是不變的

RSR^{-1}=S

一個標量運算元的例子是量子力學中的哈密頓運算元。

定義

一個向量運算元 $V$ 是一組三個運算元 $V_{m}$ ， $m=-1,0,1$ （ $V$ 在球座標系中的分量），它們滿足以下對易關係

[X_{i},V_{m}]=\epsilon _{imk}V_{k}

更一般地，可以定義張量運算元

定義

一個張量運算元 $T$ 的分量 $T_{m}^{j}$ 是一個運算元，它在旋轉下的變換由以下給出

RT_{m}^{j}R^{-1}=D_{m'm}^{j}(R)T_{m'}^{j}

其中 $D_{m'm}^{j}(R)$ 是旋轉 $R$ 對由向量 $|jm>$ 張成的空間的限制。

D_{m'm}^{j}(R)=<jm'|R|jm>

另一個等價定義在 ([#References|參考文獻]) 中給出。可以證明，向量算符是 $j=1$ 的張量算符。群論對物理學家來說很有趣，因為它提供了自然界中遇到的對稱群的不可約表示。它們的數目是有限的。例如，可以證明在晶體學中只允許 32 個對稱點群。還存在將可約表示擴充套件到不可約表示的方法（參見 ([#References|參考文獻])）。