數學物理學導論/導論
物理學一詞來自希臘語 ，意思是自然。物理學是研究物質、空間和時間的性質以及描述自然現象的規律的科學。現代物理學基於物質並非如我們感知的那樣的理念。伽利略提出這一理念，後經笛卡爾、波義耳和洛克等哲學家發展，成為物理學還原論方法的起源：人們試圖透過更基本層面的物質性質來描述給定尺度下物質的性質。這種方法有兩個部分：首先，確定構成物質的基本元素。因此，普通物質將由原子組成，原子本身是由原子核和電子組成的。原子核本身是由核子組成的，核子是由夸克和膠子組成的粒子。其次，研究這些基本元素的組合及其相互作用以解釋觀察到的現象。因此，物體的顏色可以透過構成這些物體的分子原子的振動來解釋。同樣，聲音將被解釋為傳到耳朵的空氣密度的變化。目前，已知自然界中存在四種基本相互作用，即引力相互作用、電磁相互作用、弱相互作用和強相互作用。在這本書中，我們考慮的“最小”元素是原子核和電子，除了本章 多體問題和物質描述 介紹了物質的組織。在原子尺度或更大尺度上發生的相互作用是電磁相互作用和引力相互作用。
本書的目的是提出對現代物理學的整體看法。透過以下兩個軸線來保證物理學各個領域之間的連貫性
- 第一個軸線是由普遍的數學語言提供的。建模的核心數學思想是使用常微分方程 (ODE) 和偏微分方程 (PDE)。由於這些工具在本書中的重要性，它們在專門的章節（章節 chapprob）中進行了介紹。但是數學形式主義更進一步。物理學書籍中使用的數學水平問題一直是一個關鍵點，因為過高的水平可能會排除許多讀者。在這裡，每當我們認為先進的數學工具可以簡化理論陳述時，我們就會使用它們。例如，電磁學的陳述是用分佈理論完成的：它允許將點、表面和體積電荷分佈作為一個整體進行全域性處理。我們還使用張量，因為每個物理量本質上都是一個張量，以及群論，因為它允許輕鬆地將對稱的概念形式化。但是，儘管這本書中經常使用高階工具，但它們是在物理學家的水平上使用的：數學嚴謹性在這本書中無法達到，因此對於不熟悉這些理論的讀者來說，它可能被認為更“易消化”。此外，我們在附錄中提供了一些關於此處使用的數學理論的基礎知識。還為希望瞭解更多資訊的讀者提供了許多關於數學書籍的參考文獻。如果這本書能讓大家閱讀數學書籍，那麼這本書的目標之一就將實現。
- 這本書遵循的第二個軸線是對多體問題的研究。多體問題是現代物理學的基本問題。它對應於物理學還原論方法的第二步：現象是透過使用更小尺度的實體來描述的。固體或液體的行為是透過使用分子來描述的。分子的行為是透過使用原子來描述的。原子的行為是透過使用電子和核子來描述的，等等。另一方面，星系是透過使用恆星的行為來描述的，星系團是透過使用星系的性質來描述的，等等。還原論方法非常強大，並且是現代物理學的基礎，它取得了輝煌的成果，例如對氫光譜譜線進行了高達小數點後第十位的計算。但它也存在侷限性。例如，無法從物理學的基本原理和 HO 分子的性質推匯出冰浮在水面上。
一個非常重要的點：我們展示了用於解決給定問題的“方法”。讀者不應認為物理學僅僅是應用一些經典方法。對自然的建模是一種非常有創意的活動。創造力和好奇心是進行物理學研究的兩個基本品質。在物理學中，如何簡化問題始終是一個關鍵點。在對現象的描述中，某些特徵是必不可少的，而另一些則不是。物理學家的工作是選擇哪些特徵真正相關。但是，當然，永遠不會只有一種模型來描述一種現象。因此，原子發光可以用經典彈簧模型或量子模型來描述。每種描述都會得到結果。第一個比第二個簡單得多，並且對於您要解決的問題可能已經足夠了。第二個更強大，並且基於物質結構的現有理念。但這些只是同一現象的不同模型。第二個並不比第一個更“真實”。它只能描述和預測更多現象。如果讀者在閱讀完本書後相信物理學是一個充滿多樣性和令人費解問題的奇妙領域，那麼本書最重要的目標就將實現！然而，物理學家必須知道何時完成創造性的工作。他必須能夠識別經典數學問題（這些問題可能隱藏在各種細節後面），並使用數學和數值工具來解決它們。但在這裡也是如此，這並不是盲目的活動。每次都存在幾種方法，建模者必須從這些方法中選擇。可能還有必要，他的問題需要一些新方法來解決，因為他的問題有一些特定的特徵。科學進步和發現就是這樣實現的。
本書的組織方式如下：第一章是數學導論。它介紹了在對物理現象進行建模時遇到的大量問題的分類。它處理偏微分方程和最小化。它還介紹了用於近似求解這些問題的數值方法。這裡採用的觀點是將經典問題的數值處理的介紹留給專門的書籍：線性代數方程的解、特徵系統、求根，即使它們在求解 PDE 和最小化問題時被使用。這樣做的原因是，這些操作可以“輕鬆地”自動化（現在已經在經典科學軟體中得到了相當好的實現）。例如，許多程式現在建議求解線性代數方程組 只需傳送命令 給程式！另一方面，科學家必須更詳細地瞭解用於解決 PDE 和最小化問題的 methods，因為 methods 的選擇很多，並且每個 methods 都有不同的行為，可以適應要解決的特定問題。本章對本書其他部分的許多引用：本章確實給出了我們上面提到的數學統一性。事實上，本書其餘部分中介紹的大多數數學問題都可以看作是 PDE 問題或最小化問題。
第二章是對建模的物理學介紹。它介紹了還原論方法是自然的各種物理系統。
物理空間的幾何化和動力學的第一定律在下一章介紹了相對論。閱讀應該與閱讀關於張量的附錄同時進行。
下一章討論了電磁學。在上一章中介紹的思想得到了發展：電磁力（及其在功率方面對偶描述）的概念與電磁場有關。光學被表述為麥克斯韋方程組的近似。對於不熟悉該理論的讀者，關於分佈的附錄可能會有所幫助。
下一章介紹了量子力學的基本理論，該理論在下一章應用於多體問題。在第 1 章中介紹的方法被廣泛用於求解薛定諤方程。
下一章統計物理學探討了統計物理學的核心原理。統計物理學是回到宏觀尺度的關鍵理論。它使我們能夠在下一章中解決各種N體問題，其中N是較大的數值。它也是理解下一章中介紹的物質的動力學和連續描述的理論基礎。
本書的讀者物件是那些希望對物理學有一個全域性概念的人。事實上，物理學通常由大學裡的不同教授教授，他們往往忽略了不同課程之間的潛在聯絡。擁有3年或4年大學物理學背景的學生可以受益於閱讀本書，例如為期末考試做準備。研究人員也可以將本書用作詳細的備忘錄。在這種情況下，參考文獻將非常有用。本書還可以幫助數學家透過現實世界的例子來說明數學課程。來自其他科學領域的問題對於數學至關重要。不幸的是，這一點往往被數學老師忽略了。
在每章的末尾，我們提供了一些練習。其中一些是直接應用所介紹的材料。另一些則鼓勵讀者進行更多思考，並閱讀專業書籍。