數學物理導論/量子力學中的N體問題/晶體

布洛赫定理

sectheobloch

考慮以下譜問題

問題

找出 $\psi (r)$ 和 $\epsilon$ 使得

$[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)]\psi (r)=\epsilon \psi (r)$

其中 $V(r)$ 是一個週期函式。

布洛赫定理 [ma:equad:Dautray5]、[ph:solid:Kittel67]、[ph:physt:Diu89] 允許\index{布洛赫定理} 以考慮問題的對稱性的形式尋找特徵函式。

定理:

theobloch

布洛赫定理。如果 $V(r)$ 是週期性的，那麼譜問題解的波函式 $\psi$ 可以寫成

$\psi (r)=\psi _{k}(r)=e^{ikr}u_{k}(r)$

其中 $u_{k}(r)=U_{k}(r+R)$（函式 $u_{k}$ 具有晶格的週期性）。

證明

算符 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)$ 與由 $\tau _{j}$ 定義的平移 $\tau _{a}$ 交換，由 $\tau _{a}\psi (r)=\psi (r+a)$ 定義。 $\tau _{a}$ 的特徵函式是這樣的：{IMP/label

$\tau _{a}\psi =\psi$

傅立葉變換\index{傅立葉變換} 的性質允許我們評估 $\tau _{j}$ 的特徵值。事實上，方程 tra 可以寫成

$\delta (x-a)*\psi (r)=\psi (r)$

其中 $*$ 表示空間卷積。對上述方程進行傅立葉變換，得到

$e^{-2i\pi ka}{\hat {\psi }}={\hat {\psi }}$

也就是說，特徵值為 $\lambda =e^{-2i\pi k_{n}a}$，其中 $k_{n}=n/a$ 。另一方面，特徵函式總是可以寫成

$\psi _{k}(r)=e^{ikr}u_{k}(r).$

由於 $u_{k}$ 是週期性的，定理得證。 }}

自由電子模型

哈密頓算符可以寫成 ([ph:solid:Kittel67],[ph:solid:Callaway64]) 這裡

$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(r)$

其中 $V(r)$ 是週期為 $a$ 的週期性盒子的勢能（見圖 figpotperioboit）figeneeleclib。

自由電子近似下的勢能。}

figpotperioboit

$H$ 的特徵函式是 $\nabla ^{2}$ 的特徵函式（平移不變性），滿足邊界條件。布洛赫定理表明 $\phi$ 可以寫成

$\psi _{k}=e^{ikr}u_{k}({\bar {r}})$

其中 $u_{k}({\bar {r}})$ 是一個具有晶體對稱性的函式，這意味著它在平移下保持不變

$u_{k}({\bar {r}}+{\bar {R}}_{i})=u_{k}({\bar {r}})$

這裡（參見 [ph:solid:Callaway64]），任何可以寫成以下形式的函式 $u_{k}$

$u_{k}({\bar {r}})=e^{iK_{n}r}$

是有效的。將這個最後一個方程代入薛定諤方程，得到以下能量表達式

$E_{k}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}|k+K_{n}|^{2}$

其中 $K_{n}$ 可以取值 ${\frac {2n\pi }{a}}$，其中 $a$ 是晶格週期，$n$ 是一個整數。圖 figeneeleclib 展示了 $E$ 作為 $k$ 的函式的影像。

自由電子近似（電子在盒子中）中模式 $k$ 的能量。

figeneeleclib

準自由電子模型

讓我們證明，如果勢不再是週期性盒子的勢，那麼在 $k={\frac {K_{1}}{2}}$ 處的簡併性就會消除。例如，考慮一個由盒子週期性勢加上一個週期性擾動定義的勢 $V(x)$

$V(x)=V_{box}+\epsilon e^{iK_{1}r}$

在自由電子模型中，函式

${\begin{matrix}\psi _{1k}&=&e^{ikr}\\\psi _{2k}&=&e^{ikr}e^{iK_{1}r}\end{matrix}}$

是簡併的。在這個基底中對哈密頓量進行對角化（求解譜問題的微擾方法，參見第chapresospec節）表明，簡併性被微擾消除。

緊束縛模型

緊束縛近似[ph:solid:Ashcroft76]由近似狀態空間，將狀態空間近似為由以晶格每個節點為中心的原子軌道所張成的空間。也就是說，每個本徵函式假定具有以下形式

$\psi (r)=\sum _{j}c_{j}\phi _{at}(r-R_{j})$

應用布洛赫定理，需要尋找$\psi _{k}$，使得它可以寫成

$\psi _{k}(r)=e^{ikr}u_{k}(r)$

識別$u_{k}(r)$和$u_{k}(r+R_{i})$，可以證明$c_{l}=e^{ikK_{l}}$。再次，對稱性考慮完全決定了本徵向量。能量從哈密頓量的表示式中計算出來。有關更多詳細資訊，請參閱[ph:solid:Ashcroft76]。