數學物理導論/N體問題和統計平衡/練習

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順磁性。考慮一個由 $N$ 個原子組成的系統，位於晶格節點上。令 $J_{i}$ 為第 $i$ 個原子的基態總動量。已知這樣一個動量對應著一個磁矩，由

$\mu _{i}=-g\mu _{B}J_{i}$

給出，其中 $\mu _{B}$ 是玻爾磁子，$g$ 是朗德因子。 $J_{i}$ 只能取半整數。

假設描述 $N$ 個原子的系統的哈密頓量為

$H=\sum -\mu _{i}B_{0}$

其中 $B_{0}$ 是外部磁場。這個系統中的原子是什麼型別的粒子，可區分的還是不可區分的？求出系統的配分函式。

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研究二維伊辛模型。是否有可能設想一種直接方法來計算 $Z$ ?編寫一個程式，允許視覺化自旋隨時間推移的演變，溫度作為一個引數。

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考慮一個獨立費米子的氣體。計算一個態 $\lambda$ 的平均佔據數 ${\bar {N}}_{\lambda }$。你將得到的定律被稱為費米分佈。

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考慮一個獨立玻色子的氣體。計算一個態 $\lambda$ 的平均佔據數 ${\bar {N}}_{\lambda }$。你將得到的定律被稱為玻色分佈。

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考慮一個半導體金屬。金屬中的自由電子可以被建模為獨立費米子的氣體。假設這些狀態由狀態密度 $\rho (\epsilon )$ 描述，其中 $\epsilon$ 表示狀態的能量。給出 $\rho (epsilon)$ 的表示式。找到將電子數量 ${\bar {N}}$ 與化學勢聯絡起來的表示式。給出溫度為零時的勢能表示式。