數學物理導論/N體問題和統計平衡/伊辛模型

在本節中，給出了一個配分函式計算的例子。伊辛模型[ma:equad:Schuster88]，[ph:physt:Diu89] \index{Ising}是一個描述鐵磁性的模型\index{ferromagnetic}。鐵磁材料由具有微小磁矩的小微觀區域構成。由於這些磁矩的方向是隨機的，因此總磁矩為零。然而，在某個臨界溫度$T_{c}$以下，磁矩會沿著某個方向排列，並且觀察到非零總磁矩。伊辛模型被提出用來描述這種現象。它包括用磁矩$S_{i}$（可以被認為是自旋）\index{spin}來描述每個微觀區域，自旋之間的相互作用由以下哈密頓量（在一維情況下）描述

$H=-K\sum S_{l}S_{l+1}$

系統的配分函式是

$Z=\sum _{(S_{l})}\Pi _{l=0}^{N-1}e^{-KS_{l}S_{l+1}},$

它可以寫成

$Z=\sum _{(S_{l})}\Pi _{l=0}^{N-1}{\mbox{ ch }}K+S_{l}S_{l+1}{\mbox{ sh }}K.$

假設$S_{l}$只能取兩個值。即使一維伊辛模型沒有表現出相變，我們在這裡也以兩種方式展示了配分函式的計算。$\sum _{(S_{l})}$表示對$S_{l}$所有可能值的求和，因此，就像對體積的積分是對每個變數的連續積分一樣，它是對$S_{l}$的連續求和。配分函式$Z$可以寫成

$Z=\sum _{S_{1}}\dots \sum _{S_{n}}f(S_{1},S_{2})f(S_{2},S_{3})\dots$

其中

$f_{K}(S_{i},S_{i+1})={\mbox{ ch }}K+S_{i}S_{i+1}{\mbox{ sh }}K$

我們有

$\sum _{S_{1}}f(S_{1},S_{2})=2{\mbox{ ch }}K.$

事實上

$\sum _{S_{1}}f(S_{1},S_{2})={\mbox{ ch }}K+S_{2}(+1){\mbox{ sh }}K+{\mbox{ ch }}K+S_{2}(-1){\mbox{ sh }}K.$

因此，依次對每個變數積分，得到：

eqZisi

$Z=2^{n-1}({\mbox{ ch }}K)^{n-1}$

這個結果可以透過一種強大的計算方法得到：**重整化群方法**[ph:physt:Diu89]，[ma:equad:Schuster88]\index{renormalisation group}，由K. Wilson提出。再次考慮配分函式

$Z=\sum _{S_{1}}\dots \sum _{S_{n}}f_{K}(S_{1},S_{2})f_{K}(S_{2},S_{3})\dots$

其中

$f_{K}(S_{i},S_{i+1})={\mbox{ ch }}K+S_{i}S_{i+1}{\mbox{ sh }}K$

將項按兩兩分組得到

$Z=\sum _{S_{1}}\dots \sum _{S_{n}}g(S_{1},S_{2},S_{3}).g(S_{3},S_{4},S_{5})\dots$

其中

$g(S_{i},S_{i+1},S_{i+2})=({\mbox{ ch }}K+S_{i}S_{i+1}{\mbox{ sh }}K)({\mbox{ ch }}K+S_{i+1}S_{i+2}{\mbox{ sh }}K)$

這種分組在圖figrenorm中進行了說明。

對所有可能的自旋值 $S_{i},S_{i+1},S_{i+2}$求和。積$f_{K}(S_{i},S_{i+1})f_{K}(S_{i+1},S_{i+2})$是對自旋的所有可能值 $S_{i}$ 和 $S_{i+2}$的求和，得到一個函式$f_{K'}(S_{i},S_{i+2})$，該函式由 $f_{K}$透過簡單改變引數$K$（與函式$f_{K}$相關）的值得到。

figrenorm

計算$S_{i+1}$所有可能值的和，得到

$\sum _{S_{i+1}}g(S_{i},S_{i+1},S_{i+2})=2({\mbox{ ch }}^{2}K+S_{i}S_{i+2}{\mbox{ sh }}^{2}K)$

因此，函式$\sum _{S_{i+1}}g(S_{i},S_{i+1},S_{i+2})$可以寫成第二個函式$f_{K'}(S_{i},S_{i+2})$，其中

$K'={\mbox{ Arcth }}({\mbox{ th }}^{2}K).$

迭代此過程，得到一個收斂到由公式 eqZisi定義的配分函式$Z$的序列。