數學物理導論/N體問題與統計平衡/量子理想氣體

引言

考慮一個量子理想氣體，{\it i. e.}, 一個由獨立粒子組成的系統，這些粒子需要使用量子力學來描述， \index{量子理想氣體}與一個粒子庫 [ph:physt:Diu89] 和恆溫器處於平衡狀態。採用的描述稱為“大規範系”。可以證明，熵最大化問題的解（使用拉格朗日乘子法）提供了狀態的佔據機率 $P_{l}$ $l$ 由能量 $E_{l}$ 和粒子數 $N_{l}$ 定義。

$P_{l}={\frac {1}{Z}}e^{-\beta E_{l}+\mu \beta N_{l}}$

其中

$Z=\sum _{l}e^{-\beta E_{l}+\mu \beta N_{l}}$

假設構成系統的獨立粒子是相同的不可區分粒子。則狀態 $l$ 可以用單個粒子的狀態 $\lambda$ 的資料來定義。

figoccup

一個獨立粒子數量 $N_{l}$ 變化的系統可以用 $N_{l}$ 個粒子的能量集來描述，或者等效地，用各種能級 $\epsilon _{\lambda }$ 上的粒子數量 $N_{\lambda }$ 來描述。

令 $\epsilon _{\lambda }$ 是狀態 $\lambda$ 中一個粒子的能量。則狀態 $l$ 的系統能量為

$E_{l}=\sum _{\lambda }N_{\lambda }\epsilon _{\lambda }$

其中

$N_{\lambda }$

是處於能量為 $\epsilon _{\lambda }$ 的狀態下的粒子數量。

$E_{\lambda }$.

這個數字被稱為能級 $E_{\lambda }$ 的佔據數 \index{佔據數} （見圖 figoccup）。 因此

$N_{l}=\sum _{\lambda }N_{\lambda }$

配分函式變為

$Z=\Pi _{\lambda }\xi _{\lambda }$

其中

$\xi _{\lambda }=\sum _{N_{l}}e^{-\beta N_{\lambda }\epsilon _{\lambda }+\beta N_{\lambda }\mu }$

系統中粒子的平均數由下式給出

$\beta {\bar {N}}=-{\frac {\partial \ln Z}{\partial \mu }}$

可以寫成

$\beta {\bar {N}}=\sum _{\lambda }N_{\lambda }$

其中 $N_{\lambda }$ 表示平均佔據數，由以下等式定義

$\beta {\bar {N}}_{\lambda }={\frac {\partial \ln \xi _{\lambda }}{\partial \mu }}$

費米子氣體

如果粒子是費米子\index{費米子}，根據泡利不相容原理\index{泡利不相容原理}，佔據數 $N_{\lambda }$ 值只能為零（能量為 $\epsilon _{\lambda }$ 的狀態下沒有粒子）或一（一個唯一的粒子具有能量 $\epsilon _{\lambda }$）。然後，配分函式的表示式允許評估所考慮系統的各種熱力學性質。這種形式主義的一個應用例子是研究半導體[ph:physt:Diu89] \index{金屬}\index{半導體}的電學性質。費米氣體也可以用來模擬白矮星 \index{白矮星}。白矮星是一種非常緻密的恆星 [ph:physt:Diu89]：它的質量與普通恆星\index{恆星}（如太陽）的質量相當，但半徑卻小 50 到 100 倍。引力壓力意味著恆星收縮。這種壓力在普通恆星中是由恆星中心發生的熱核反應來平衡的。但對於白矮星來說，這種反應不再發生。此外，可以證明恆星中電子的速度非常小。由於根據泡利不相容原理，所有電子不能處於同一狀態，因此它們會產生一種壓力。這種壓力被稱為“量子壓力”，它抵消了引力壓力，防止恆星完全坍縮。

玻色氣體

如果粒子是玻色子，根據泡利不相容原理，佔據數 $N_{\lambda }$ 可以取任何正值或零值

$\xi _{\lambda }^{B}=\sum _{N_{\lambda }=0}^{+\infty }e^{-\beta N_{\lambda }\epsilon _{\lambda }+\beta N_{\lambda }\mu }$

$\xi _{\lambda }^{B}$ 是公比為

$e^{-\beta \epsilon _{\lambda }+\beta \mu }$

的無窮等比數列的和，其中 $\epsilon _{\lambda }$ 是固定的。級數在

$\epsilon _{\lambda }-\mu >0$

的情況下收斂。可以證明 [ph:physt:Diu89]，在低溫下，玻色子會聚集在最低能量狀態。這種現象被稱為玻色-愛因斯坦凝聚\index{玻色-愛因斯坦凝聚}。

備註

光子是玻色子，其數量不守恆。這賦予它們非常特殊的行為：它們的化學勢為零。