數學物理導論/N體問題和統計平衡/自旋玻璃

假設一個自旋玻璃系統\index{自旋玻璃}(見{secglassyspin}節)的能量為

$H=\sum J_{ij}S_{i}S_{j}$

變數$S_{i}$的值為$+1$，如果自旋向上，或$-1$，如果自旋向下。係數$J_{ij}$為$+1$，如果自旋$i$和$j$傾向於朝向相同的方向排列，或$-1$，如果自旋$i$和$j$傾向於朝向相反的方向排列(根據攜帶自旋的原子的隨機位置)。能量記為

$H_{J}=\sum J_{ij}S_{i}S_{j}$

其中$J$在$H_{J}$中表示$J_{ij}$的分佈。配分函式為

$Z_{J}=\sum _{[s]}e^{-\beta H_{J}[s]}$

其中$[s]$是一個自旋構型。我們尋找能量在$J_{ij}$分佈上的平均值${\bar {f}}$

${\bar {f}}=\sum _{J}P[J]f_{J}$

其中 $P[j]$ 是配置 $[J]$ 的機率密度函式，而 $f_{J}$ 是

$f_{J}=-\ln Z_{J}.$

這種計算平均值的方式在統計物理學中並不常見。平均值是在“冷卻的”$J$ 變數上完成的，也就是說它們相對於 $S_{i}$ 變化緩慢。更經典的平均值將包括 $\sum _{J}P[J]\sum _{[s]}e^{-\beta H_{J}[s]}$（$J$ 然後是“退火”變數）。考慮一個系統 $S_{j}^{n}$，它由 $n$ 個相同系統 $S_{J}$ 的副本\index{副本} 組成。它的配分函式 $Z_{J}^{n}$ 僅僅是

$Z_{J}^{n}=(Z_{J})^{n}$

設 $f_{n}$ 是在 $J$ 上定義的平均值

$f_{n}=-{\frac {1}{n}}\ln \sum _{J}P[J](Z_{J})^{n}$

由於

$\ln Z=\lim _{n\rightarrow 0}{\frac {Z^{n}-1}{n}}$

我們有

$\lim _{n\rightarrow 0}f_{n}=\lim _{n\rightarrow 0}\ln(\sum _{J}P[J][1+n\ln Z_{J}])$

利用$\sum _{J}P[J]=1$ 和 $\ln(1+x)=x+O(x)$，可得

${\bar {f}}=\lim _{n\rightarrow 0}f_{n}.$

利用這個技巧，我們用對$Z^{n}$的平均值代替了對$\ln Z$的平均值；需要付出的是在零點進行解析延拓。然後計算過程大大簡化了 [ph:sping:Mezard87].

可以使用模擬退火法\index{simulated annealing}來計算受挫系統的平衡態。可以使用Metropolis演算法\index{Metropolis}進行數值實現。該方法可以應用於旅行推銷員問題（參見 [ma:compu:Press92] \index{travelling salesman problem}).