數學物理導論/量子力學/量子力學中的線性響應

令 ${\mathrel {<}}A{\mathrel {>}}(t)$ 為算符（可觀測量） $A$ 的平均值。該平均值可由實驗者獲得（參見參考文獻）。其中 $H(t)$ 與 $sin(\omega t)$ 成正比的情況在參考文獻中得到討論。這裡討論的是 $H(t)$ 與 $\delta (t)$ 成正比的情況。考慮以下問題。

問題

求 $\psi$ 使得

$i\hbar {\frac {d\psi }{dt}}=(H_{0}+W_{i}(t))\psi$

其中

$W_{i}(t)=W_{i}^{c}.\delta (t)$

並計算

${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}={\mathrel {<}}\psi |qZ|\psi {\mathrel {>}}$

注：線性響應可以在經典框架中描述，其中薛定諤方程被經典力學的演化方程取代。此類模型存在於例如描述電磁化率。

使用相互作用表示法\footnote{這種表示變換等效於 WKB 方法。事實上，${\tilde {\psi (t)}}$ 成為 $t$ 的慢變函式，因為時間依賴性被算符 $e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}$ 吸收。

${\tilde {\psi (t)}}=e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}\psi (t)$

並且

${\tilde {W}}_{i}(t)=e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}W_{i}e^{\frac {-iH_{0}t}{\hbar }}$

需要計算的量是 ${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}$

${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}={\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}|q{\tilde {Z}}|{\tilde {\psi }}{\mathrel {>}}$

$i\hbar {\frac {d{\tilde {\psi }}}{dt}}={\tilde {W}}_{i}(t){\tilde {\psi }}$

在零階

${\frac {d{\tilde {\psi }}}{dt}}=0$

因此

${\tilde {\psi }}^{0}(t)={\tilde {\psi }}^{0}(0)$

現在， ${\tilde {\psi }}$ 已處於 $\psi _{0}$ 狀態，所以

${\tilde {\psi }}^{0}(t)=\psi _{0}(t){IMP/label|pert1}$

在一階

${\tilde {\psi }}^{1}(t)={\tilde {\psi }}^{1}(0)+{\frac {1}{i\hbar }}\int _{0}^{t}{\tilde {W}}_{i}(t\prime ){\tilde {\psi }}^{0}(t\prime )dt\prime$

因此，利用 $\delta$ 狄拉克分佈的性質

${\tilde {\psi }}^{1}(t)={\frac {1}{i\hbar }}W_{c}^{i}\psi _{0}.{IMP/label|pert2}$

現在我們計算平均值：在一次近似下，

${\begin{matrix}{\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}&=&{\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}+{\tilde {\psi ^{1}}}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{0}+{\tilde {\psi ^{1}}}{\mathrel {>}}\\&=&{\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{1}{\mathrel {>}}+{\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{1}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{0}{\mathrel {>}}\end{matrix}}$

實際上，${\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}|qZ|{\tilde {\psi }}^{0}{\mathrel {>}}$ 為零，因為 $Z$ 是一個奇算符。

${\begin{matrix}{\mathrel {<} {\tilde {\psi }}^{0}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}|{\tilde {\psi }}^{1}\mathrel {>} =}\\&=&\mathrel {<} {\tilde {\psi }}^{0}|e^{\frac {iH_{0}t}{\hbar }}qZe^{\frac {-iH_{0}t}{\hbar }}|{\psi }_{k}\mathrel {>} \mathrel {<} {\psi }_{k}|{\tilde {\psi }}^{1}\mathrel {>} \end{matrix}}$

其中，使用了封閉關係。使用方程 ---pert1--- 和方程 ---pert2--- 給出的微擾結果

${\mathrel {<}}{\tilde {\psi }}^{0}|qZ|{\tilde {\psi }}^{1}{\mathrel {>}}=e^{i\omega _{0k}t}{\mathrel {<}}{\psi }^{0}|qZ|{\psi }^{k}{\mathrel {>}}{\frac {1}{i\hbar }}{\mathrel {<}}{\psi }^{k}|W_{i}^{c}|{\psi }^{0}{\mathrel {>}}$

因此我們有

${\begin{matrix}{\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}(t)&=&0{\mbox{ if }}t<0\\{\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}(t)&=&e^{i\omega _{0k}t}{\mathrel {<}}{\psi }^{0}|qZ|{\psi }^{k}{\mathrel {>}}{\frac {1}{i\hbar }}{\mathrel {<}}{\psi }^{k}|W_{i}^{c}|{\psi }^{0}{\mathrel {>}}+CC{\mbox{ if not }}\end{matrix}}$

使用傅立葉變換\footnote{ 的傅立葉變換

$f(t)=e^{-i\omega _{0}t}$

和傅立葉變換

$g(t)=H(t)e^{-i\omega _{0}t}$

是不同的: 的傅立葉變換 $f(t)$ 不存在！（見 (參考文獻)) }

${\mathrel {<}}qZ{\mathrel {>}}(\omega )=2q^{2}E\sum _{k\neq 0}\omega _{0k}{\frac {|{\mathrel {<}}\psi _{0}|Z|\psi _{k}{\mathrel {>}}|^{2}}{\omega _{k0}^{2}-\omega ^{2}}}$