數學物理學導論/量子力學/公理

secespetat

態空間

第一個公理處理的是對系統狀態的描述。

公理：（系統狀態的描述）對於每個物理系統，對應一個具有可數基的復希爾伯特空間${\mathcal {H}}$。

對於每個被考慮的物理系統，必須精確地定義空間${\mathcal {H}}$。

示例：對於一個在非相對論框架中自旋為零的單粒子系統，所採用的態空間${\mathcal {H}}$是$L^{2}(R^{3})$。它是關於勒貝格測度的平方可和的複函式的空間，由標量積裝備

$<\phi |\psi >=\int \phi (x){\bar {\psi }}(x)dx$

該空間被稱為軌道態空間。\index{態空間}

因此，量子力學用一個平方可和的函式$\psi (x)$取代了經典的位置和速度的概念。 ${\mathcal {H}}$中的一個元素$\psi (x)$使用狄拉克符號記為$|\psi >$。

示例

對於由一個非零自旋\index{自旋}$s$的粒子構成的系統，在非相對論框架中，態空間是張量積$L^{2}(R^{3})\otimes C^{n}$，其中$n=2s+1$。自旋為整數的粒子被稱為玻色子；\index{玻色子} 自旋為半整數的粒子被稱為費米子。\index{費米子}

示例： 對於一個由 $N$ 個不同的粒子構成的系統，狀態空間是希爾伯特空間 $h_{i}$ ($i\in (1,\dots ,N)$) 的張量積，其中 $h_{i}$ 是與粒子 $i$ 相關聯的狀態空間。

exmppauli

示例： 對於一個由 $N$ 個相同粒子構成的系統，狀態空間是 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的子空間，其中 $h_{i}$ 是與粒子 $i$ 相關聯的狀態空間。令 $\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}}$ 是這個子空間的一個函式。它可以寫成

$\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}}=\phi _{\alpha _{1}}(1)\otimes \dots \otimes \phi _{\alpha _{2}}(N)$

其中 $\phi _{\alpha _{i}}\in h_{i}$。令 $P^{\pi }$ 是從 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 到 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的置換運算元 \index{置換}，定義為

$P^{\pi }(\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}})=\phi _{\alpha _{1}}(\pi (1))\otimes \dots \otimes \phi _{\alpha _{2}}(\pi (N))$

其中 $\pi$ 是 $(1,\dots ,N)$ 的置換。如果一個向量可以寫成

$\phi ^{s}={\frac {1}{k^{s}}}\sum _{\pi }P^{\pi }(\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}})$

稱為反對稱的向量可以寫成

$\phi ^{a}={\frac {1}{k^{a}}}\sum _{\pi }(-1)^{p_{\pi }}P^{\pi }(\psi _{\alpha _{1},\dots ,\alpha _{N}})$

其中 $(-1)^{p_{\pi }}$ 是置換 $\pi$ 的符號（或奇偶性），$p_{\pi }$ 是置換 $\pi$ 是乘積的換位次數。係數 $k^{s}$ 和 $k^{a}$ 用於規範化波函式。求和擴充套件到 $(1,\dots ,N)$ 的所有置換 $\pi$。根據粒子的不同，應選擇對稱或反對稱向量作為狀態向量。更確切地說

• 對於玻色子，態空間是由對稱向量構成的 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的子空間。
• 對於費米子，態空間是由反對稱向量構成的 $\otimes _{i=1}^{N}h_{i}$ 的子空間。

為了介紹下一個量子力學假設，必須定義“表示”（[#References|參考文獻]）。

薛定諤表示

以下是薛定諤表示中下一個量子力學四個假設的陳述。\index{薛定諤表示}

假設

(物理量的描述) 每個可測量的物理量 ${\mathcal {A}}$ 可以用在 ${\mathcal {H}}$ 中作用的算符 $A$ 來描述。這個算符是可觀測量。

假設: (可能的結果) 對物理量 ${\mathcal {A}}$ 的測量結果只能是與該可觀測量 $A$ 相關聯的本徵值之一。

假設: (譜分解原理) 當在一個處於歸一化態 $|\psi {\mathrel {>}}$ 的系統中測量物理量 ${\mathcal {A}}$ 時，測量的平均值為 $<A>$ 

$<A>=<\psi |A\psi >$

其中 $<.|.>$ 表示 ${\mathcal {H}}$ 中的標量積。特別地，如果 $A=\sum |v_{i}>a_{i}<v_{i}|$，測量時獲得值 $a_{i}$ 的機率為

$P(a_{i})=<\psi |v_{i}><v_{i}|\psi >$

假設: (演化) 狀態向量 $\psi (t)$ 的演化遵循薛定諤方程^[1]

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t){\mathrel {>}}=H(t)|\psi (t){\mathrel {>}}$

其中 $H(t)$ 是與系統能量相關的可觀測量。

備註: 時間為 $t$ 的狀態可以表示為時間為 $0$ 狀態的函式

$|\psi (t){\mathrel {>}}=U|\psi (0){\mathrel {>}}$

算符 $U$ 被稱為演化算符。\index{演化算符} 可以證明 $U$ 是酉算符。\index{酉算符}

備註: 當算符 $H$ 不依賴於時間時，演化方程可以很容易地積分，得到

$|\psi (t){\mathrel {>}}=U|\psi (0){\mathrel {>}}$

其中

$U=e^{-iHt/\hbar }$

當 $H$ 依賴於時間時，演化方程的解

$i\hbar {\frac {\partial U(t)}{\partial t}}=H(t)U(t)$

不是

$U(t)=e^{{\frac {i}{\hbar }}\int _{0}^{t}H(t')dt'}$

secautresrep

其他表示

可以透過酉變換得到其他表示。

定義: 根據定義（[#References

性質: 如果 $A$ 是厄米算符，則算符 $T=e^{iA}$ 是酉算符。

證明: 事實上

$T^{+}=e^{-iA^{+}}=e^{-iA}$

$T^{+}T=e^{-iA}e^{+iA}=1$

$TT^{+}=e^{iA}e^{-iA}=1$

性質: 酉變換保持標量積。

證明: 事實上，如果

${\tilde {\psi _{1}}}=U\psi _{1}{\mbox{ et }}{\tilde {\psi _{2}}}=U\psi _{2}$

那麼

${\mathrel {<}}\psi _{1}|\psi _{2}{\mathrel {>}}={\mathrel {<}}{\tilde {\psi _{1}}}|{\tilde {\psi _{2}}}{\mathrel {>}}$

海森堡表象

我們已經看到，演化算符將時間為 $t$ 時的態表示為時間為 $0$ 時的態的函式。

$\phi (t)=U\phi (0)$

讓我們將薛定諤表象中的態寫為 $\phi _{S}$，海森堡表象中的態寫為 $\phi _{H}$。\index{海森堡表象} 海森堡\footnote{維爾納·海森堡因其在量子力學方面的成就獲得了諾貝爾物理學獎} 表象由以下酉變換從薛定諤表象定義

$\phi _{H}=V\phi _{S}$

其中

$V=U^{-1}$

換句話說，海森堡表象中的態的波函式與 $t$ 無關，並且等於 $t=0$ 時薛定諤表象中的對應態：$\phi _{H}=\phi _{S}(0)$。這使得我們可以將公理應用到海森堡表象中

假設：（物理量的描述）對每一個物理量及其對應的狀態空間 ${\mathcal {H}}$，可以關聯一個函式 $t\in R\rightarrow A_{H}(t)$，其中 $A_{H}(t)$ 是 ${\mathcal {H}}$ 中的自伴算符。

注意，如果 $A_{S}$ 是與薛定諤表示中的物理量 ${\mathcal {A}}$ 關聯的算符，那麼 $A_{S}$ 和 $A_{H}$ 之間的關係為

$A_{H}(t)=U^{+}A_{S}U$

算符 $A_{H}$ 與時間有關，即使 $A_{S}$ 與時間無關。

假設：（可能的結果）物理量在時間 $t$ 的值只能是與之關聯的自伴算符 $A(t)$ 譜中的一個點。

譜分解原理保持不變

假設：（譜分解原理）當在一個歸一化的狀態 $|\psi _{H}{\mathrel {>}}$ 的系統上測量物理量 ${\mathcal {A}}$ 時，測量的平均值為 $<A_{H}>$ 

$<A>=<\psi _{H}|A_{H}\psi _{H}>$

與薛定諤表示的關係由以下等式描述

$<\psi _{H}|A_{H}\psi _{H}>=<\psi _{S}U|U^{+}A_{S}U|U^{+}\psi _{H}>$

因為 $U$ 是酉算符

$<\psi _{H}|A_{H}\psi _{H}>=<\psi _{S}|A_{S}\psi _{S}>$

測量得到某個值的機率假設保持不變，只是算符現在依賴於時間，而向量不依賴於時間。

假設：（演化）演化方程是（在一個孤立系統中）

$i\hbar {\frac {dA}{dt}}(t)=-(HA(t)-A(t)H)=-[H,A(t)]$

這個方程被稱為海森堡觀測量方程。

備註：如果系統是保守的（$H$ 不依賴於時間），我們已經看到

$U=e^{-iHt/\hbar }.$

如果我們將時間為 $t=0$ 的物理量與算符 $A(0)=A$ 聯絡起來，該算符與薛定諤表示中該物理量的算符相同，那麼算符 $A(t)$ 可以寫成

$A(t)=e^{+i{\frac {Ht}{\hbar }}}Ae^{-i{\frac {Ht}{\hbar }}}$

相互作用表示

假設哈密頓量 $H$ 可以分成兩部分 $H_{0}$ 和 $H_{i}$。特別是，$H_{i}$ 通常被視為 $H_{0}$ 的微擾，代表未受擾狀態（$H_{0}$ 的特徵向量）之間的相互作用。讓我們注意到 $|\psi _{S}{\mathrel {>}}$ 是薛定諤表示中的一個態，而 $|{\psi }_{I}{\mathrel {>}}$ 是相互作用表示中的一個態。\index{相互作用表示}

$|{\psi }_{I}{\mathrel {>}}=U_{0}|\psi _{S}{\mathrel {>}}$

其中

$U_{0}=e^{iH_{0}t/\hbar }$

假設：（物理量的描述）在狀態空間 ${\mathcal {H}}$ 中，每個物理量都與一個函式 $t\in R\rightarrow A_{I}(t)$ 相關聯，其中 $A_{I}(t)$ 是 ${\mathcal {H}}$ 中的自伴算符。

如果 $A_{S}$ 是與薛定諤表示中的物理量 ${\mathcal {A}}$ 相關聯的算符，那麼 $A_{S}$ 和 $A_{I}$ 之間的關係是

$A_{I}(t)=U_{0}A_{S}U_{0}^{+}=e^{iH_{0}t/\hbar }A_{S}e^{-iH_{0}t/\hbar }$

因此，$A_{I}$ 依賴於時間，即使 $A_{S}$ 不依賴於時間。可能的結論是該算符保持不變。

假設

當測量處於狀態 $\psi _{I}$ 的系統中的物理量 ${\mathcal {A}}$ 時，$A_{I}$ 的平均值為

$<\psi _{I}|A_{I}\psi _{I}>$

正如海森堡表象中所做的那樣，可以證明，這個結果等同於薛定諤表象中獲得的結果。從薛定諤方程，可以直接得到相互作用表象的演化方程

假設: (演化) 向量 $\psi _{I}$ 的演化由以下給出

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi _{I}(t){\mathrel {>}}=V_{I}|\psi _{I}(t){\mathrel {>}}$

其中

$V_{I}=e^{iH_{0}t/\hbar }H_{i}e^{-iH_{0}t/\hbar }$

相互作用表象使微擾計算變得容易。它在量子電動力學中使用（參見[#References|參考文獻]）。在本書的剩餘部分，將只使用薛定諤表象。