數學物理導論/量子力學/一些可觀測量

哈密頓算符

哈密頓算符 \index{hamiltonian operator} 被引入作為無窮小生成元乘以 $i\hbar$ 的演化群。經驗、從經典力學到量子力學的過渡方法允許為每個考慮的系統給出它的表示式。薛定諤方程的旋轉不變性意味著哈密頓算符是一個標量算符（參見附錄 chapgroupes）。

例子

自由粒子的經典能量是

$E_{c}={\frac {p^{2}}{2m}}.$

它的量子等價物，哈密頓算符 $H$ 是

$H={\frac {P^{2}}{2m}}.$

備註： 過渡關係 量化規則（[#References

位置算符

粒子的經典位置概念 $r$ 導致將一組三個算符（或可觀測量）與粒子相關聯 $R_{x},R_{y},R_{z}$ 稱為位置算符\index{position operator}，它們的作用定義為在軌道希爾伯特空間中的函式 $\phi$

$R_{x}\phi (x,y,z)=x\phi (x,y,z)$

$R_{y}\phi (x,y,z)=y\phi (x,y,z)$

$R_{z}\phi (x,y,z)=z\phi (x,y,z)$

動量算符

同樣地，與粒子的“經典”動量相關聯的是一組三個可觀測量 $P=(P_{x},P_{y},P_{z})$。算符 $P_{x}$ 的作用定義為 \index{momentum operator}

eqdefmomP

$P_{x}\phi ={\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}\phi$

算符 $R$ 和 $P$ 驗證了稱為 *正則對易關係* 的對易關係 \index{對易關係} 

$[R_{i},R_{j}]=0$

$[P_{i},P_{j}]=0$

$[R_{i},P_{j}]=i\hbar \delta _{ij}$

其中 $\delta _{ij}$ 是克羅內克符號（參見附錄 secformultens），對於任何算符 $A$ 和 $B$，$[A,B]=AB-BA$。算符 $[A,B]$ 稱為 $A$ 和 $B$ 的 *對易子*。

動量算符

定義

動量 \index{動量算符} $J$，是一組三個算符 $J_{x},J_{y},J_{z}$，它們驗證了以下對易關係 \index{對易關係}

$[J_{i},J_{l}]=i\hbar \epsilon _{kil}J_{k}$

也就是說

$[J_{x},J_{y}]=i\hbar J_{z}$

$[J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x}$

$[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}$

其中 $\epsilon _{ijk}$ 是置換符號張量（見附錄 secformultens）。算符 $J$ 被稱為向量算符（見附錄 chapgroupes）。

例子

軌道動量

定理

由 $L_{i}=\epsilon _{ijk}R_{j}P_{k}$ 定義的算符是動量，被稱為軌道動量。

證明

讓我們評估（見（[#References

假設

軌道動量與磁矩 $M$ 相關聯

$M={\frac {\mu _{B}}{\hbar }}L$

例子

關於電子的假設。 我們在章節 secespetat 中看到，電子的態空間（自旋為 $s=1/2$ 的費米子）是軌道態空間和自旋態空間的張量積。定義一個算符 $S$，稱為自旋算符，它作用於自旋態空間。假設該算符是動量，並且它透過磁矩出現在哈密頓量中。

假設

算符 $S$ 是動量。

假設

電子是自旋為 $s=1/2$ 的粒子，它具有內稟磁矩 \index{磁矩}

$M_{S}=2{\frac {\mu _{b}}{\hbar }}S$