數學物理/相對論/動力學導論

經典力學基本原理

讓我們陳述一個物質點或粒子的經典動力學基本原理。在經典力學中，物質點由其質量 $m$，位置 $r$，和速度 $v$ 來描述。它受到由力 $F_{ext}$ 模擬的外部作用。粒子的動量 $mv$ 用 $p$ 表示。\index{動量}

原理：動力學基本原理（或牛頓運動方程）\index{牛頓運動方程}指出，動量的對時間的導數等於所有外力的總和\index{力}

${\frac {dp}{dt}}=\sum F_{ext}$

secprinmoindreact

最小作用原理

原理：最小作用原理：\index{最小作用原理} 函式 $x(t)$ 描述了具有勢能 $U(x)$ 的粒子的軌跡，它產生了恆定的作用，其中作用 $S$ 由 $S=\int Ldt$ 定義，其中 $L$ 是粒子的拉格朗日量： $L(x,{\dot {x}},t)=-{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+U(x)$.

這個原理可以作為物質點經典力學的基礎。但它也可以看作先前提出的基本動力學原理的結果 [ma:equad:Arnold83].

$m{\ddot {x}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}=0$

讓我們乘以 $y(t)$ 並對時間積分

$\int (m{\ddot {x}}y+{\frac {\partial U}{\partial x}}y)\,dt=0$

使用格林公式（分部積分）

$\int (-m{\dot {x}}{\dot {y}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}y)\,dt=0$

${\dot {x}}{\dot {y}}$ 是一個雙線性形式。

$-{\dot {x}}{\dot {y}}=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}$

$0=\int m[-{\frac {1}{2}}({\dot {x}}+{\dot {y}})^{2}+U(x+y)]-[-{\frac {1}{2}}{\dot {x}}^{2}+U(x)]dt+O(y^{2})$

定義拉格朗日量 $L$ 為

$L({\dot {x}},x,t)=-{\frac {1}{2}}m{\dot {x}}^{2}+U(x),$

前面的等式可以寫成

$0=-\delta \int L({\dot {x}},x,t)dt$

意味著作用量 $S$ 是常數。

能量描述

運動定律沒有說明如何對力進行建模。力的建模通常是物理學家的工作。這裡有兩個力表示式示例

1. 重量 $P=mg$. $g$ 是一個向量，描述了質量為 $m$ 的質點周圍的引力場。
2. 電磁力 $f=qv\wedge B+qE$，其中 $q$ 是粒子的電荷，$E$ 是電場，$B$ 是磁場，$v$ 是粒子的速度。

這兩個力的表示式直接來自於物理學原理。然而，對於其他相互作用，比如彈性力和摩擦力，物理學家能發揮的自由度就大得多。

對這些複雜相互作用進行建模的一種有效方法是使用能量（或功率）的概念。在 chapelectromag 章中，展示了電磁相互作用中力和能量之間的對偶性。在 chapapproxconti 和 chapenermilcon 章中，發展了能量概念來描述連續介質。

這裡我們回顧一下與力描述相互作用相關的一些定義。力 $f$ 對一個微小位移所做的微功為

$\delta W=f.dr$

力 $f$ 對速度為 $v$ 的質點所做的瞬時功率為

$P=f.v$

粒子在時間 $dt$ 內移動 $dr$ 所獲得的勢能為

$dE=-f.dr=-P.dt$

注意，只有當力場 $f$ 具有保守的環路時，才能定義勢能。這適用於重力和電力，但不適用於摩擦力。只受保守力作用的系統是哈密頓系統。控制其動力學的方程是哈密頓方程：{IMP/label|eqhampa1}}

${\frac {dp}{dt}}=-{\frac {\partial H}{\partial q}}$

eqhampa2

${\frac {dq}{dt}}={\frac {\partial H}{\partial p}}$

其中函式 $H(q,p,t)$ 被稱為系統的哈密頓量。對於具有勢能 $E_{p}$ 的粒子，哈密頓量為：

eqformhami

$H(q,p,t)={\frac {p^{2}}{2m}}+E_{p}(q)$

其中$p$ 是粒子的動量，而$q$ 是它的位置。 擴充套件來說，任何可以用方程 eqhampa1 和 eqhampa2 描述其動力學的系統，都被稱為哈密頓系統 \index{hamiltonian system}，即使 $H$ 不是由方程 eqformhami 給出的形式。

secdynasperel

狹義相對論中的動力學

我們已經看到，洛倫茲變換作用於時間。為了保持經典動力學定律在洛倫茲變換下的不變性（如相對論假設所要求的那樣），必須修改這些定律。 需要付出代價的是，動量和能量的概念需要被修改。 讓我們假設在衝量四維向量和速度四維向量之間存線上性依賴關係；

$P=mU=(m\gamma u,icm\gamma )$

其中$m$ 是粒子的靜止質量，$u$ 是粒子的經典速度 $u={\frac {dx}{dt}}$，$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$，其中 $\beta ={\frac {u}{c}}$。 讓我們把“相對論動量”這個量稱為：

$p=m\gamma u$

以及“相對論能量”這個量

$E=m\gamma c^{2}$

因此，四維向量 $P$ 可以寫成

$P=(p,i{\frac {E}{c}})$

因此，愛因斯坦將能量與質量聯絡起來，因為在靜止狀態下

$E=mc^{2}$

這就是質量-能量等價性。\index{matter--energy equivalence} 因此，基本動力學原理在狹義相對論的形式中寫成

${\frac {dP}{dt}}=f_{\mu }$

其中 $f_{\mu }$ 是力四維向量。

示例： 讓我們舉一個力四維向量的例子。 洛倫茲力四維向量定義為

$f^{\mu }=F_{\nu }^{\mu }P^{\nu }$

其中 $F_{\nu }^{\mu }$ 是電磁場張量（參見部分 seceqmaxcov）

狹義相對論中的最小作用原理

讓我們來展示如何從最小作用原理中得到基本動力學。這裡只考慮自由粒子的情況。作用應寫成

$S=\int L(u,x,t)dt$

其中 $L$ 是洛倫茲變換不變的，$u$ 和 $x$ 是粒子的經典速度和位置。最簡單的解決方案是宣告

$L=\gamma k$

其中 $k$ 是一個常數。事實上，$Ldt$ 這裡變成了

$Ldt=kd\tau$

其中 $d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}$，（其中 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$，以及 $\beta ={\frac {u}{c}}$）是本徵時間的微分，因此在任何洛倫茲變換下都是不變的。讓我們假設 $k=-mc^{2}$。動量則為

$p={\frac {\partial L}{\partial u}}=\gamma mu$

能量可以透過勒讓德變換得到，$E=p.u-L$ 所以

$E=\gamma mc^{2}$

廣義相對論中的動力學

介紹廣義相對論中自由粒子的動力學的最佳方法是使用最小作用原理。 我們定義作用量 $S$ 為

$S=\int ds$

其中 $ds$ 是黎曼時空中的基本距離。 $S$ 在任何座標系變換下顯然是協變的（因為 $ds$ 是協變的）。 考慮定義（協變）微分的基準關係 eqcovdiff。 它得到

$Da^{i}=da^{i}+a^{k}\Gamma _{kj}^{i}dx^{j}$

其中 $da^{i}={\frac {\partial a^{i}}{\partial x^{j}}}dx^{j}$。 位移可以用 $dx^{i}=u^{i}d\lambda$ 表示，其中 $u^{i}$ 表示軌跡的切線（速度）。 最短路徑對應於粒子沿切線平行於自身移動的運動，即

:

$Du^{i}=0.$

或

${\frac {Du^{i}}{d\lambda }}=0$

這得到

eqdynarelatge

${\frac {Du^{i}}{D\lambda }}={\frac {d^{2}x^{i}}{d\lambda ^{2}}}+\Gamma _{hk}^{i}{\frac {dx^{h}}{d\lambda }}{\frac {dx^{k}}{d\lambda }}$

其中 $\Gamma _{hk}^{i}$ 是取決於系統度量的張量（有關更多詳細資訊，請參見 [ph:relat:Misner73g]）。 公式 eqdynarelatge 是自由粒子的演化方程。 它是測地線的方程。 圖 figgeo 代表球面上兩點 A 和 B 之間的測地線。 在這種情況下，測地線是連線 A 和 B 的弧線。

figgeo

球面上的測地線。

請注意，這裡，引力相互作用包含在度量中。 因此，上面“自由”粒子的方程描述了經歷引力相互作用的粒子的演化。 廣義相對論解釋了大質量如何偏轉光線（參見圖 figlightrayd）

figlightrayd

光的彎曲。