數學物理/相對論/習題簡介

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證明質量為 $m$ 的火箭以速度 $u$（相對於自身）噴射其質量的一部分 $dm$，每單位時間 $dt$，運動方向與 $u$ 相反。在時間 $t=0$ 且初始速度為零的情況下，給出該火箭的運動規律，假設其所處在地球引力場中，該引力場被認為是恆定的。

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多普勒效應。 考慮一個光源 $S$，它相對於參考系 $R$ 以恆定速度運動。使用波四向量 $(k,\omega /c)$，給出與 $S$ 一起運動的實驗者和另一個連線到 $R$ 的實驗者所測量的頻率之間的關係。對於聲波呢？

練習

對於柱座標系，空間的度規 $g_{ij}$ 為

$ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+dz^{2}$

計算克里斯托費爾符號 $\Gamma _{hk}^{i}$，其定義為

$\Gamma _{hk}^{i}={\frac {1}{2}}g^{ij}(\partial _{h}g_{kj}+\partial _{k}g_{hj}-\partial _{j}g_{hk})$

練習

考慮一個單位質量，它在一個三維參考系中運動，該參考系的度規為

$ds^{2}=g_{ij}dq_{i}dq_{j}$

證明系統的動能是

$E_{c}={\frac {1}{2}}g_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}$

證明動力學的基本方程可以寫成（假設力來自一個勢能$V$) 

${\frac {D{\dot {q}}_{i}}{Dt}}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}$