數學物理學/相對論/空間幾何化導論

經典力學

經典力學基於兩個基本原理：伽利略相對性原理和動力學的基本原理。讓我們陳述伽利略相對性原理

原理： 伽利略相對性原理。 經典力學定律（特別是牛頓運動定律）在所有相對於彼此作勻速平移的參考系中都具有相同的形式。這些參考系稱為伽利略參考系或慣性參考系。

在經典力學中，兩個事件之間的時間間隔與參考系的運動無關。剛體兩個點之間的距離與參考系的運動無關。

備註： 經典力學定律在屬於伽利略變換群的變換下是不變的。伽利略座標變換可以寫成

${\begin{matrix}x'_{1}&=&x_{1}-vt\\x'_{1}&=&x_{1}\\x'_{1}&=&x_{1}\\t'&=&t\end{matrix}}$

根據伽利略相對論，光速應該取決於所考慮的伽利略參考系。1881年，邁克爾遜和莫雷試圖測量這種依賴關係的實驗失敗了。

secrelat

相對論力學（狹義相對論）

愛因斯坦在他26歲時提出的狹義相對論中，相對論力學基於以下假設

假設： 宇宙中的所有定律（即力學和電磁學定律）在所有伽利略參考系中都是相同的。

由於愛因斯坦相信麥克斯韋方程組（以及由於邁克爾遜-莫雷實驗的失敗），$c$必須是一個常數。因此，愛因斯坦假設

假設： 真空中的光速$c$在所有伽利略參考系中都是相同的。該速度是一個上限。

我們將在後面看到為了滿足這些假設，物理定律必須如何修改。一個普遍速度（即光速）的存在深刻地改變了時空結構。它導致了狹義相對論中採用的度規的精確定義（見附錄章節介紹度規的概念）。考慮兩個伽利略參考系，其座標分別為：$(x,t)$和$(x^{\prime },t^{\prime })$。假設在$t=t^{\prime }=0$時，兩個座標系重合。然後

$c={\frac {|x|}{|t|}}={\frac {|x^{\prime }|}{|t^{\prime }|}}$

也就是說

$c^{2}t^{2}-x^{2}=0$

以及

$c^{2}t^{\prime 2}-x^{\prime 2}=0$

因此，數量 $c^{2}t^{2}-x^{2}$ 是一個不變數。因此，空間-時間應該配備的最自然的度量是

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$

假設這種度量應該在伽利略座標變換下保持不變。

假設：度量 $ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$ 在伽利略參考系變化下是不變的。

現在讓我們尋找一個空間-時間變換的表示，該變換保持這種度量不變。我們尋找這樣的變換，使得

$ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-c^{2}dt^{2}$

是不變的。從度量來看，必須定義一個“位置向量”。它被稱為四維向量位置，有兩種形式主義可以用來定義它：\index{four--vector}。

• 四維向量位置的座標取等於$R=(x,y,z,ct)$，並且空間由矩陣定義的偽標量積裝備
  $D=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\\\end{array}}\right)$
  然後
  $(R|R)=R^{t}DR$
  其中 $R^{t}$ 表示四維向量位置 $R$ 的轉置。
• 或者四維向量位置的座標取等於$R=(x,y,z,ict)$，並且空間由矩陣定義的偽標量積裝備
  $D=Id=\left({\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}}\right)$
  然後
  $(R|R)=R^{t}R$
  其中 $R^{t}$ 表示四維向量位置 $R$ 的轉置。

一旦選擇了形式主義，就可以研究保持偽範數不變的變換的表示（即矩陣）（參見（參考文獻））。這裡我們只展示這些矩陣。在第一種形式主義中，偽積標量不變的條件意味著

$(MR|MR)=(R|R)$

因此

cond

$D=M^{+}DM$

以下矩陣適合

$M=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

其中 $\beta ={\frac {v}{c}}$ ($v$ 是參考系的移動速度）和 $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$。 $M$ 的逆矩陣

$M^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&-\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

備註

方程式 cond 意味著行列式的條件

$1=det(M^{+}DM)=(det(M))^{2}$

矩陣 $M$ 的行列式為 1，它們形成一個名為洛倫茲群的群。\index{Lorentz group}

在第二種形式中，相同的條件意味著

$Id=M^{+}M$

以下矩陣適合

$M=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&-i\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\+i\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

它的逆矩陣是

$M^{-1}=\left({\begin{array}{cccc}\gamma &0&0&+i\gamma \beta \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-i\gamma \beta &0&0&\gamma \\\end{array}}\right)$

備註： 酉矩陣（見 secautresrep 節）是滿足以下條件的矩陣

$M^{+}M=1=MM^{+}$

其中 $M^{+}$ 是 $M$ 的伴隨矩陣，即 $M$ 的共軛轉置矩陣。 那麼，由以下公式定義的標量積

${\mathrel {<}}R|Q{\mathrel {>}}=R^{+}Q$

在 $M$ 的作用下保持不變。

特徵時間

四標量（或洛倫茲不變） $d\tau$ 允許定義其他四向量（如四速度）

定義： 移動物的特徵時間是與該移動物一起運動的時鐘所測得的時間。

如果移動物在參考系 $R_{2}$ 中以速度 $v$ 運動，那麼在參考系 $R_{1}$ 中，移動物經過事件 A 和 B，

${\begin{matrix}x_{A}=0&&x_{B}=0\\ct_{A}=0&&ct_{B}=c\tau \end{matrix}}$

而在參考系 $R_{2}$ 中為

${\begin{matrix}x_{A}=0&&x_{B}=vt\\ct_{A}=0&&ct_{B}=ct.\end{matrix}}$

因此，可以得到由 $\tau$ 驗證的關係：

$\tau ^{2}=t^{2}(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}})$

因此

$d\tau ={\frac {dt}{\gamma }}$

四速度

四速度定義為

$U={\frac {dX}{d\tau }}=(\gamma u,\gamma c)$

其中 $u={\frac {dx}{dt}}$ 是經典速度。

其他四維向量

這裡是一些其他的四維向量（使用第一個形式表示）

• 四維位置向量 
  $X=(x_{1},x_{2},x_{3},ct)$
• 四維波向量
  $K=(k_{1},k_{2},k_{3},{\frac {\omega }{c}})$
• 四維梯度向量
  $K=({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},{\frac {\partial }{\partial x_{2}}},{\frac {\partial }{\partial x_{3}}},{\frac {\partial }{\partial x_{4}}})$

廣義相對論

存在兩種方法來解決自然規律發現的問題

1. 第一種方法可以被稱為

"現象學"。量子力學就是一個現象學理論的很好的例子。這種方法是從已知的事實（來自實驗）推斷出規律。可觀察的概念成為基本的概念。

1. 還存在另一種方法，它不太"人類中心主義"，其優點在 17 世紀就被笛卡爾等哲學家所強調。

這種方法被稱為先驗方法。愛因斯坦在提出他的相對論時就使用了這種方法。它從被認為是正確的原理出發，尋找符合這些原理的規律。

以下是一些廣義相對論的基本假設

假設：廣義相對性原理：自然界的所有規律都與任何連續座標系變換相關。 <ref>狹義相對論只指出相對於洛倫茲變換的協變性（參見（參考文獻）），而經典力學只指出相對於伽利略變換的協變性。<\ref>

假設：規律公式的最大邏輯簡單性原理：時空的所有幾何性質都可以用微分張量 $S$ 來描述。這個張量

1. 在四維黎曼空間中表示，該空間的度量由張量 $g_{ij}$ 定義
2. 是一個二階張量，記作 $S_{ij}$
3. 是 $g_{ij}$ 的函式，不包含任何大於二階的偏導數，並且對二階偏導數是線性的。

假設：張量 $S_{ij}$ 的散度為零。

假設：空間彎曲是由物質引起的

${\mbox{ Curvature }}={\mbox{ Matter }}$

或者，使用張量

$S_{ij}=T_{ij}$

愛因斯坦強烈地相信這些假設。另一方面，他認為引力場的模型需要改進。從這些假設中，可以推匯出愛因斯坦方程：可以證明，任何滿足這些假設的張量 $S_{ij}$

$S_{ij}=a(R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R-\lambda g_{ij})$

其中 $a$ 和 $\lambda$ 是兩個常數，$R_{ij}$ 是裡奇曲率張量，$R$ 是標量曲率，它們都是由 $g_{ij}$ 張量定義的。愛因斯坦方程對應於 $a=1$。常數 $\lambda$ 稱為宇宙常數。物質張量不是從假設所隱含的對稱性推匯出來的，正如 $S_{ij}$ 曲率張量一樣。請參考 參考文獻）瞭解如何對物質張量進行建模。總之，$S_{ij}$ 曲率張量和物質張量之間存在著很大的差異。愛因斯坦將這兩個術語對立起來，認為曲率項光滑如金，而物質項粗糙如木。