經典力學中的數學物理/統計物理/正則系綜簡介

考慮一個只有能量固定的系統。該系統處於量子態 $(l)$ 的能量為 $E_{l}$ 的機率（見上一節）由下式給出：

P_{l}={\frac {1}{Z}}e^{-E_{l}/k_{B}T}

考慮對同一系統的經典描述。例如，考慮一個由 $N$ 個粒子組成的系統，這些粒子的位置和動量分別記為 $q_{i}$ 和 $p_{i}$ ，由經典哈密頓量 $H(q_{i},p_{i})$ 描述。經典機率密度 $w^{c}$ 定義為

eqdensiprobaclas

w^{c}(q_{i},p_{i})={\frac {1}{A}}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}

量 $w^{c}(q_{i},p_{i})dq_{i}dr_{i}$ 代表系統處於超平面 $q_{i},p_{i}$ 和 $q_{i}+dq_{i},p_{i}+dp_{i}$ 之間的相空間體積內的機率。歸一化係數 $Z$ 和 $A$ 成正比。

A=\int dq_{1}...dq_{n}\int dp_{1}...dp_{n}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}

Z={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3N}}}A

$2\pi \hbar ^{N}$ 是一種量子態體積。

說明

這個量子態體積對應於海森堡不確定性原理在相空間中允許的最小精度

\index{海森堡不確定性原理}

\Delta x\Delta p>\hbar

經典方法提供的配分函式因此變為

Z={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{N}}}\int dq_{1}...dq_{n}\int dp_{1}...dp_{n}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}

但是這種從量子描述到經典描述的轉換技術會帶來一些相容性問題。例如，在量子力學中，存在一個允許處理相同粒子集合情況的假設。直接應用公式eqdensiprobaclas會導致錯誤的結果（吉布斯悖論）。在相同粒子的經典處理中，必須在其他統計力學假設中人工新增一個假設。

假設

兩個狀態如果僅僅在排列上不同，則不視為不同的狀態。

這會導致一個包含 $N$ 個相同粒子的系統的經典配分函式

Z={\frac {1}{N!}}{\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3N}}}\int \prod dp_{i}^{3}dq_{i}^{3}e^{-H(q_{i},p_{i})/k_{B}T}