數學物理導論/拓撲空間

定義

對我們來說，拓撲空間是一個賦予了以下意義的空間

$\lim u_{n}=u.$

實際上，極限的最一般概念是在拓撲空間中表達的

定義

一個拓撲空間中的點序列$u_{n}$ 具有極限$l$，如果$l$ 的每個鄰域都包含該序列在某個秩之後的所有項。

距離和度量

定義

集合$E$ 上的距離是從$E\times E$ 到$R^{+}$ 的一個對映$d$，對於$E$ 中的任意$x,y,z$，它驗證了

$d(x,y)=0$ 當且僅當$x=y$。 $d(x,y)=d(y,x)$。 $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.

定義

度量空間是一個由集合 $A$ 和距離 $d$ 在 $A$ 上組成的對 $(A,d)$.

每個度量空間都對應一個拓撲空間。在這篇文章中，考慮的所有拓撲空間都是度量空間。在度量空間中，收斂序列只有一個極限（拓撲是分離的）。

當需要透過逐步逼近來計算像 $\pi$ 這樣的無法透過整數係數方程求解的數字時，以及更普遍地，當人們想知道一個越來越“接近”的數字序列是否收斂時，人們引入了柯西序列的概念。

定義

令 $(A,d)$ 是一個度量空間。如果 $\forall \epsilon >0\exists n,\forall (p,q),p>n,q>n,d(x_{p},x_{q})<\epsilon$，則稱 $A$ 中的元素序列 $x_{n}$ 為柯西序列。

任何收斂序列都是柯西序列。反過來，在一般情況下不成立。實際上，存在一些空間，其中存在不收斂的柯西序列。

定義

如果 $A$ 中的任何柯西序列都在 $A$ 中收斂，則稱度量空間 $(A,d)$ 是完備的。

空間 $R$ 是完備的。有理數空間 $Q$ 不是完備的。實際上，序列 $u_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!}}$ 是柯西序列，但它在 $Q$ 中不收斂。它在 $R$ 中收斂於 $e$，這表明 $e$ 是無理數。

定義

賦範向量空間是指具有範數的向量空間。

範數誘匯出距離，因此賦範向量空間也是拓撲空間（可以討論序列的極限）。

定義

分離預希爾伯特空間是一個具有標量積的向量空間$E$。

因此，它是透過使用與標量積相關的範數誘導的距離的度量空間。

定義

希爾伯特空間是一個完備的分離預希爾伯特空間。

平方可和函式的空間$L^{2}$是一個希爾伯特空間。

張量和度量

如果空間$E$具有度量$g_{ij}$，則方差可以很容易地改變。度量允許測量空間中兩點之間的距離。兩點$x_{i}$和$x_{i}+dx_{i}$之間的基本平方距離是

$ds^{2}=g_{ij}dx^{i}dx^{j}=g^{ij}dx_{i}dx_{j}$

協變分量$x_{i}$可以用反變分量表示

$x_{i}=g_{ij}x^{j}$

不變數$x^{i}y_{j}$可以寫成

$x^{i}y_{j}=x^{i}g_{ij}y^{j}$

以及像$a_{i}^{j}$這樣的張量可以寫成

$a_{i}^{j}=g^{jk}a_{ik}$

分佈意義上的極限

定義

設 $T_{\alpha }$ 是一個依賴於實引數 $\alpha$ 的分佈族。當 $\alpha$ 趨於 $\lambda$ 時，分佈 $T_{\alpha }$ 趨於分佈 $T$，如果

$\forall \phi \in {\mathcal {D}},\lim _{\alpha \rightarrow \lambda }<T_{\alpha },\phi >=<T,\phi >$

特別地，可以證明與函式 $f_{\alpha }$ 相關的分佈，該函式驗證

$f_{\alpha }(x)\geq 0$

$\int f_{\alpha }(x)dx=1$

$\forall a\geq 0,\lim _{\alpha \rightarrow \infty }\int _{|x|>a}f_{\alpha }(x)dx=0$

收斂到狄拉克分佈。

figdirac

函式族 $f_{\epsilon }$，其中 $f_{\epsilon }$ 在區間 $[0,\epsilon ]$ 上為 $1/\epsilon$，在其他地方為零，當 $\epsilon$ 趨於零時，收斂到狄拉克分佈。

圖 figdirac 展示了這樣一個函式族的例子。